Mathematik HTL 3, Schulbuch

117 2.4 Zweite Ableitung und quadratische Näherung 507 Aus einem Kreissektor mit 10 cm Radius soll ein Kegel mit größtmöglichem Volumen gerollt werden. Wie groß muss der Öffnungswinkel α des Sektors gewählt werden? Berechne das maximale Volumen. 508 Ein Prisma mit quadratischer Grundfläche soll ein Volumen von 64 cm 3 besitzen. Berechne, wie lang die Grundkante und die Höhe dieses Prismas sein müssen, damit seine Oberfläche minimal ist. Technische Anwendungen 509 Bedingt durch ihren Aufbau besitzt jede Batterie einen geringen Innenwiderstand R i . Daher kann man sich eine Batterie als Serienschaltung einer Spannungs quelle (Leerlaufspannung U 0 ) und einem Ohmschen Widerstand (Innenwiderstand R i ) vorstellen. Wird nun an diese Batterie ein Verbraucher mit dem Widerstand R L angeschlossen, so beträgt der Strom durch diesen Verbraucher gemäß dem Ohmschen Gesetz I =   U 0 _  R + R i und die Klemmspannung, welche dem Spannungsabfall am Verbraucher entspricht, erhält man als U kl = R·I =   R·U 0 _ R + R i . Also ist die Leistungsaufnahme des Verbrauchers P(R) = U kl ·I =   R·U 0   2 __  (R + R i ) 2 . Der Innenwiderstand eines NiCdAkkus mit U 0 = 6V beträgt 155m Ω . Stelle den Graphen der Funktion P, die jedem Lastwiderstand R die entsprechende Leistungsaufnahme P(R) zuordnet, über einem geeigneten Intervall dar. Berechne, für welchen Lastwiderstand diese Leistungs aufnahme maximal ist, und gib die maximale Leistung an. 510 Der Innenwiderstand eines NiMhAkkus mit U 0 = 1,2V und beträgt R i = 778m Ω . Stelle den Graphen der Funktion P, die jedem Lastwiderstand R die Leistungsaufnahme P(R) zuordnet, über einem geeigneten Intervall dar. Berechne, für welchen Lastwiderstand diese Leistungsaufnahme maximal ist, und gib die maximale Leistung an. 511 Ein Kurbelantrieb bewegt einen Kolben gemäß der angeführten Skizze. Der Mittelpunkt der Kurbel befindet sich im Punkt (‒ l + r 1 0). Wir betrachten die Funktion d, die jedem Winkel φ den Abstand des Kolbens K vom Ursprung zuordnet. Es ist d( φ ) = ‒ l + r + r cos( φ ) + 9 _______ l 2 – (r sin( φ )) 2 . a. Erkläre anhand der Skizze, wie d( φ ) berechnet wurde. b. Zeige durch Nachrechnen, dass d(0) = 2r und d( π ) = 0 ist. c. Die Drehgeschwindigkeit der Kurbel ist so gewählt, dass φ (t) = 2 π t ist. Der Radius der Kurbel ist r = 3 cm, die Länge der Schubstange l = 10 cm. Gib die Funktion s an, die jedem Zeitpunkt t den Abstand des Kolbens vom Ursprung (in cm) zuordnet. d. Berechne die Funktion v, die jedem Zeitpunkt t die Geschwindigkeit des Kolbens zu diesem Zeitpunkt zuordnet. e. Berechne, zu welchen Zeitpunkten die Geschwindigkeit des Kolbens maximal ist. Wie groß ist in diesem Fall die Geschwindigkeit? f. Zeichne die Graphen von s, s’ und s’’ in ein gemeinsames Koordinatensystem. Woran erkennt man, dass die Funktion s nicht als allgemeine Sinusfunktion mit s(t) = a sin(bt + c) dargestellt werden kann? A, B r = 10cm α A, B A, B Urspannung Innen- widerstand Quelle Last- widerstand R i R I U KI U 0 A, B A, B, D x y φ l r r ∙ cos( φ ) r ∙ sin( φ ) M Q K ggb j9i99e Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv