Mathematik HTL 3, Schulbuch

116 Differentialrechnung 500 Eine zylinderförmige Konservendose soll ein Volumen von 500mø besitzen. Welchen Durchmesser und welche Höhe muss die Dose haben, sodass möglichst wenig Blech verbraucht wird? Das Ziel dieser Aufgabe ist es, den Blechverbrauch zu minimieren. Wir nehmen an, dass der Blechverbrauch der Oberfläche der Dose entspricht. Wir bezeichnen den Radius der Dose mit r cm und die Höhe mit hcm. Die Oberfläche des Zylinders ist 2r 2 π + 2r π hcm 2 . Das Volumen des Zylinders ist 500mø, also 500 cm 3 , daher ist r 2 π h = 500 und h = ​  500 _ r 2 π ​ . Daher ist die Oberfläche des Zylinders mit Radius r gleich O(r) = 2r 2 π + 2r π ​  500 _  r 2 π ​= 2r 2 π + ​  1000 _ r  ​ . Um r so zu wählen, dass O(r) minimal ist, berechnen wir die Ableitung der Funktion O, die jeder reellen Zahl r die Zahl 2r 2 π + ​  1000 _ r  ​zuordnet: O’(r) = 4r π – ​  1000 _ r 2 ​ Die Zahl O’(r) ist genau dann 0, wenn 4r 3 π = 1 000, also r ≈ 4,3 ist. Da O’’(4,3) = 4 π + ​  2000 _ 4,3 3 ​> 0 ist, ist 4,3 eine Minimumstelle von O. Dann ist h = ​  500 _  4,3 2 π ​≈ 8,6. Der Durchmesser der Dose, deren Herstellung am wenigsten Blech verbraucht, muss 8,6cm betragen, die Höhe ebenfalls 8,6 cm. 501 Eine zylinderförmige, oben offene Dose soll ein Volumen von 5 ® haben. Berechne, wie groß der Radius und die Höhe zu wählen sind, damit der Materialverbrauch minimal ist. 502 Ein zylinderförmiges Fass mit 100 ø Fassungsvermögen soll so produziert werden, dass der Materialverbrauch möglichst gering ist. Das Fass soll oben geschlossen sein. Welchen Radius und welche Höhe muss das Fass haben? Berechne. 503 Welcher Zylinder mit der Oberfläche von 100 cm 2 hat das maximale Volumen? Berechne das maximale Volumen. 504 In einer Altbauwohnung befindet sich eine halbkreisförmige Mauernische mit einem Durchmesser von 2m. Für diese Nische soll ein Kasten mit rechteckiger Grundfläche angefertigt werden. Ermittle, welche maximale Grundfläche dieser Kasten haben kann. 505 Aus einem quadratischen Stück Papier mit 20 cm Seiten- länge soll gemäß der Abbildung das Netz einer quadrati­ schen Pyramide ausgeschnitten werden, so dass das Volumen dieser Pyramide maximal ist. Berechne die Längen x und y, sowie die Höhe und das Volumen dieser Pyramide. 506 Der Querschnitt eines unterirdischen Entwässerungs­ kanals besteht aus einem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Die Fläche des Kanalquerschnitts soll 16m 2 betragen. Ermittle, wie die Abmessungen gewählt werden müssen, damit der Materialbedarf beim Bau der Verkleidung (Boden und Wände sowie Decke) minimal wird. A, B die Maße einer Konservendose mit möglichst geringem Material­ verbrauch berechnen  ggb/mcd p93u7n A, B A, B A, B A, B b a 2 r A, B 20cm 20cm x y y x 2 A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentu des Verlags öbv