Mathematik HTL 3, Schulbuch

115 2.4 Zweite Ableitung und quadratische Näherung 495 Aufgabe 494 findet sich oft in Anwendungen wieder, wie zum Beispiel beim Bau eines Kanals oder der Verlegung von Stromkabeln, Wasserleitungen etc. Der Normalabstand zur Straße sowie die Entfernung des Ziels sowie die Kosten für die Errichtung des Kanals bzw. der Leitung im Gelände und entlang der Straße sind bekannt. Entwickle mithilfe eines geeigneten Programms eine Lösung für die kostengünstigste Bauvariante von Kanälen bzw. Stromleitungen. 496 In unwegsamem Gelände soll ein Holztransport durchgeführt werden. Zunächst muss das Holz durch schwieriges Gelände (Strecke CD) zu einem Waldweg gebracht werden. Der neue Weg durch das Gelände würde 8,40€/m kosten. Über den Wald­ weg kann das Holz nach Adaptierungsarbeiten (Kosten dafür 7,00€/m) am Weg bis zum Sammelplatz (SP) gebracht werden. a. Berechne, in welcher Entfernung vom Sammelplatz (SP) der neue Weg auf den Waldweg treffen sollte, damit die Kosten minimal werden. b. Ermittle die Länge der Strecke, über die das Holz insgesamt transportiert werden muss. c. Bestimme die Kosten für die Herstellung des Transportweges. 497 Aus einem A4-Papier (21 × 29,7cm) soll eine oben offene Schachtel mit dem größten möglichen Volumen hergestellt werden. Dazu werden an den vier Ecken Quadrate der Seitenlänge hcm herausgeschnitten und die vier Seiten zu einer Schachtel der Höhe hcm hochgeklappt. Berechne h und das größtmögliche Volumen. Die Grundfläche der Schachtel ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 29,7 – 2h cm und 21 – 2h cm. Das Volumen bei Höhe hcm ist dann (29,7 – 2h)(21 – 2h)h cm 3 . Wir betrachten also die Funktion V, die jeder reellen Zahl die Zahl V(h) = (29, 7 – 2h)(21 – 2h)h zuordnet und suchen ihre Maximalstellen. V(h) = 4h 3 – 101,4h 2 + 623,7h V’(h) = 12h 2 – 202,8h + 630 Die Nullstellen der quadratischen Funktion V’ sind h 1 ≈ 4,04 und h 2 ≈ 12,86. Es ist V’’(h) = 24h – 202,8 , also ist V’’(h 1 ) < 0 und V’’(h 2 ) > 0. Somit ist h 1 die einzige Maximalstelle von V. Das Herausschneiden von Quadraten der Seitenlänge h 2 ≈ 12,86 cm wäre auch gar nicht möglich, da die Breite des Blattes nur 21 cm beträgt und 21 < 2h 2 ist. Wenn die Höhe der Schachtel 4,04 cm beträgt, ist das Volumen größtmöglich und zwar ca. 1128,50 cm 3 . 498 Aus einem rechtwinkeligen Papier (20 × 30 cm) ist gemäß der Skizze das Netz eines Quaders mit möglichst großem Volumen auszuschneiden. Wie lange müssen die Seiten a, b, c gewählt werden? Welches Volumen hat die Schachtel dann? 499 Eine rechteckige Metallplatte mit einer Länge von 40 cm und einer Breite von 30 cm soll durch das Entfernen von 4 Quadraten in den Ecken zu einer Metalllade mit möglichst großem Volumen gebogen werden. Ermittle die Länge der zu entfernenden Blechquadrate. A A, B 250 800 SP D C A, B A4  ggb/mcd 3h4nw6 die Maße für eine Schachtel mit möglichst großem Volumen berechnen A, B a a c c b 30cm 20cm A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv