Mathematik HTL 3, Schulbuch

114 Differentialrechnung 492 Bei einem MountainbikeRennen können die Fahrer kurz vor dem Ziel selbst die Fahrlinie wählen (siehe Zeichnung). Auf dem Feldweg beträgt die Durchschnittsgeschwindigkeit ca. 28 km/h, in der unebenen Wiese ca. 20km/h. Nach wie vielen Metern sollte der Fahrer den Feldweg verlassen, um möglichst schnell im Ziel zu sein? Wir wandeln zuerst alle Längenangaben in km um: 150m = 0,15 km und 1 800m = 1,8 km. Die Länge der Strecke, die der Fahrer auf dem Feldweg zurücklegt, bezeichnen wir mit y km und schreiben x für 1,8 – y. Nach dem Satz von Pythagoras ist der in der Wiese zurückgelegten Weg 9 _____ x 2 + 0,15 2 km. Da der Mountainbiker in einer Stunde 20 km zurücklegen kann, benötigt er für diese Strecke 9 _____ x 2 + 0,15 2 __ 20 Stunden. Für die auf dem Feldweg zurückgelegte Strecke y = 1,8 – x km benötigt er y _ 28 Stunden. Wenn der Fahrer nach y km den Feldweg verlässt, braucht er also t(y) = 9 _________ (1, 8 – y) 2 + 0,15 2 ___ 20 + y _ 28 Stunden. Wir bilden die Ableitung der Funktion t von (0; 1,8) nach R , die jeder Zahl y die Gesamtzeit in Stunden, wenn der Fahrweg nach y km verlassen wird, zuordnet, an der Stelle y: t’(y) = – 1 _ 20 · 2(1,8 – y) ___ 2· 9 _________ (1,8 – y) 2 + 0,15 2 + 1 _ 28 Als einzige Nullstelle von t’ im Intervall (0; 1,8) erhalten wir 1,647. Mit einem CAS rechnen wir nach, dass die zweite Ableitung von t an dieser Stelle positiv ist, also ist 1,647 eine Minimumstelle von t. Um möglichst schnell das Ziel zu erreichen, muss der Mountainbiker den Feldweg nach 1,647km verlassen. Dann benötigt er dazu t(1,647) ≈ 0,0695h ≈ 4min 10 s. 493 Ein Rettungsschwimmer steht am Strand an der Stelle A und soll so schnell wie möglich einen im Wasser schwimmenden Verletzten V erreichen. Entlang des Strandes kann der Rettungsschwimmer mit 5m/s laufen, im Wasser kommt er mit 1m/s schwimmend voran. a. An welcher Stelle W muss er ins Wasser gehen, damit die benötigte Zeit bis zum Verletzten minimal ist? b. Ermittle, wie lange er auf diese Weise bis zum Verletzten benötigt. c. Um wie viel Prozent ist die von dir berechnete Zeit kürzer als die Zeit, die der Rettungs­ schwimmer benötigen würde, wenn er auf geradem Weg von A nach V schwimmt? Berechne. 494 Ein CrossCountryLäufer steht in unwegsamem Gelände in 200m Entfernung zu einem Weg. Das Ziel möchte er möglichst schnell erreichen. Gib an, welchen Weg er wählen soll, wenn seine Geschwindigkeit im Gelände nur halb so groß ist wie auf dem Weg. A, B die optimale Rennstrecke berechnen ggb/mcd ug3ft9 1800m x y 150m Ziel A, B 100m 50m x y A W V A, B 200m 500m Weg Start Ziel Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv