Mathematik HTL 3, Schulbuch

113 2.4 Zweite Ableitung und quadratische Näherung 488 Ein Betrieb verbraucht wöchentlich 10000 kg eines bestimmten Rohstoffes, der 1,00€/kg kostet. Da der Preis demnächst auf 1,20€/kg angehoben wird, soll dieser Rohstoff auf Vorrat gekauft werden. Die wöchentlichen Lagerhaltungskosten betragen 25€ pro 1 000 kg. Berechne, wie viel Kilogramm des Rohstoffs noch zum alten Preis eingekauft werden sollen, um von der Preis­ erhöhung möglichst wenig betroffen zu sein. Ermittle auch die Gesamtersparnis. Da der Preis derzeit um 0,20€/kg kleiner ist als in Zukunft, erspart sich der Betrieb durch den Einkauf von x kg dieses Rohstoffes 0,20 x€. Nach a Wochen sind noch x – 10000·a kg im Lager. Mit dem gekauften Rohstoffvorrat kommt der Betrieb also ​  x _  10000 ​Wochen aus. Um die Rechnung zu vereinfachen, nehmen wir an, dass sich während der gesamten Zeit ​  x _ 2 ​kg im Lager befinden. Dann fallen pro Woche ​  x _ 2 ​·​  25 _  1000 ​= 0,0125·x€ an Lager haltungskosten an. Während ​  x _  10000 ​Wochen sind das 0,0125x·​  x _  10000 ​= ​  0,0125x 2 __ 10000  ​€. Die Differenz zwischen Ersparnis durch den früh­ zeitigen Kauf von x kg und den entsprechenden Lagerhaltungskosten beträgt daher G(x) = 0,20 x – ​  0,0125x 2 __ 10000  ​€. Da G eine quadratische Funktion ist, hat sie genau eine globale Extremstelle. Wir berechnen sie, indem wir die Funktion G ableiten und erhalten G’(x) = 0,20 – ​  0,025x _ 10000 ​und G’’(x) = ‒ ​  0,025 _  10000 ​ . G’(x) ist genau dann 0, wenn x = 80000 ist. Da G’’(80000) < 0 ist, hat G in 80000 ein lokales Maxi­ mum mit G(80000) = 8000. Daher sollten 80000 kg dieses Rohstoffs zum alten Preis bestellt werden. Die Gesamtersparnis beträgt dabei 8000€. 489 Ein Copyshop verbraucht wöchentlich etwa 15000 Blatt Papier. Der Einkaufspreis für eine 500StückPackung beträgt im Großhandel 1,50€. Zurzeit ist das Kopierpapier im Angebot um 1,45€ pro 500StückPackung zu haben. Wie viele Packungen sollte der Copyshop zu diesem niederen Preis kaufen, um die größtmögliche Ersparnis zu erzielen? Man rechnet mit 0,30€ Lagerhaltungskosten pro 100 Packungen Papier pro Woche. 490 Ein Autohändler erhält vom Produzenten eines Minivans das einmalige Angebot, das neueste Modell der Serie anstatt um 35000€ jetzt um 30000€ zu beziehen. Der Händler überlegt nun, wie viele neue Autos er kaufen soll. Folgendes ist dabei zu berücksichtigen: Es können durchschnittlich 20 Stück dieser Autos pro Monat weiterverkauft werden. Der Händler lässt sich den Kauf von seiner Bank finanzieren. Er zahlt für diesen Kredit monatlich 1% Zinsen. Sobald ein Wagen verkauft wird, werden die 30000€ Einkaufspreis abbezahlt. a. Berechne, wie viele dieser Minivans der Händler kaufen soll, damit er den maximal möglichen Betrag spart. b. Ermittle, welchen Betrag ihm seine Bank leihen muss. c. Gib die Höhe der Zinsen an, die er voraussichtlich der Bank zahlen muss. 491 Ein Chinarestaurant benötigt pro Tag ca. 12 kg Reis. Diesen bezieht es im Großhandel zu einem Preis von 3,90€ pro kg. Die Lieferkosten belaufen sich dabei, unabhängig von der Menge, auf 15€ pro Lieferung. Die Lagerkosten für 100 kg Reis belaufen sich auf 2€ pro Tag. a. Ermittle, welche Menge an Reis bei jeder Lieferung bestellt werden soll, damit die Kosten pro Kilogramm Reis minimal werden. b. Gib an, nach wie vielen Tagen die nächste Ladung Reis gekauft werden muss. A, B optimale Lagerhaltung  mcd/tns pi5zz7 Zeit Lagerkosten A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv