Mathematik HTL 3, Schulbuch

112 Differentialrechnung 479 Eine Firma stellt Schokoladetannenbäume her. Dazu gießt sie 500 cm 3 Schokolade in Drehkegel­ form und verpackt sie in Stanniolpapier. Wie sollen die Maße für das Bäumchen gewählt werden, damit möglichst wenig von dem umweltschädlichen Stanniolpapier verbraucht wird? Rechne ohne Überlappungen und Falze. 480 Einem Gebäude mit rechteckigem Grundriss (15m Länge und 8m Breite) soll ein Dach aufgesetzt werden, dabei ist eine Dachhöhe von 5m vorgegeben. Folgende Dachvarianten stehen zur Verfügung:  I. ein Satteldach und  II. ein Dach mit parabelförmigem Querschnitt. Die so entstehenden Dachräume sollen ausgebaut werden, und zwar mit senkrechten einfachen Seitenwänden und einer waagerechten Decke (rechteckige Raumquerschnittsfläche). a. Berechne für die zwei Ausbauvarianten die Abmessungen für den Ausbau, wenn der umschlossene Raum maximal sein soll. b. Welche der beiden Ausbauvarianten liefert das größte Ausbauvolumen? Berechne das größte Ausbauvolumen. 481 Drei Bretter (20 cm breit) sollen zu einer nach oben offenen Wasserrinne gezimmert werden, so dass die größtmögliche Wassermenge abfließen kann, das heißt, dass die (trapezförmige) Quer­ schnittsfläche möglichst groß sein soll. Wie groß ist die größtmögliche Querschnittsfläche? 482 Eine Materialseilbahn überwindet eine Höhe von 150 m bei einer horizontalen Strecke von 450m. In 25m horizontaler Entfernung von der Talstation beträgt der Durchhang des Tragseiles 1m. Beschreibe das Tragseil als Graph einer geeigneten Funktion. Berechne die Stelle und die Größe des maximalen Durchhanges des Tragseiles der Seilbahn. 483 In eine parabelförmige Dachgaube soll ein möglichst großes rechteckiges Fenster eingebaut werden. Die Gaube ist 2m hoch und 1,50m breit. Berechne die Maße des Fensters. 484 Wie sollen die Maße für einen rechteckigen Schacht mit einem Querschnitt von 2m 2 gewählt werden, damit möglichst wenig Material für dessen Herstellung benötigt wird? 485 Eine häufige Problemstellung ist es, für ein vorgegebenes Volumen einen Körper mit möglichst kleiner Oberfläche zu finden. Entwickle mit einem geeigneten Programm eine Möglichkeit, bei beliebig eingebbarem Volumen die Oberflächen einer Kugel, eines Quaders mit quadratischer Grundfläche, eines Zylinders und eines Drehkegels zu vergleichen. 486 Entscheide, welche der Aufgaben Extremwertaufgaben sind. Begründe. A  Eine Saftpackung in Form eines Quaders soll einen Inhalt von 1 ø fassen. Die Standfläche A beträgt 49 cm 2 . Berechne die Höhe der Packung, wenn die Oberfläche minimal werden soll. B  Die Marketingabteilung hat festgestellt, dass sich quaderförmige Saftpackungen mit einem Seitenverhältnis von 4 : 4 : 9 besonders gut verkaufen. Die Oberfläche soll genau 740cm 2 betragen. Ermittle die Seitenlängen der Saftpackung so, dass der Inhalt maximal wird. C  Eine quaderförmige Saftpackung soll 1 ø Inhalt fassen. Berechne die Höhe der Saftpackung, wenn die Standfläche ein Quadrat sein und die Oberfläche minimal werden soll. 487 Arbeitet in einer Kleingruppe. Wählt eine Verpackung aus dem Alltagsleben aus, zum Beispiel eine Saftpackung, eine Flasche oder auch eine Getränkedose. Überlegt, um welchen Körper es sich annähernd handelt und ermittelt das Volumen des Gegenstandes. Wenn der Hersteller die Form der Verpackung beibehalten möchte, wie sollte er die Abmessungen dimensionieren, damit der Materialverbrauch möglichst klein wird? Vergleicht eure Ergebnisse mit den tatsächlichen Abmessungen der gewählten Verpackung und analysiert die Unterschiede. Stellt eure Ergebnisse zusammengefasst der ganzen Klasse vor. A, B A, B A, B A, B A, B A, B A, B C, D C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv