Mathematik HTL 3, Schulbuch

111 2.4 Zweite Ableitung und quadratische Näherung 473 Ein Abschnittsprofil einer Achterbahn wird im Intervall [0; 29] durch die Polynomfunktion h mit h(x) = ‒0,004x 3 + 0,204x 2 – 2,88x + 13 modelliert. Wenn z die horizontale Entfernung vom Koordinatenursprung ist, dann ist h(z) die Höhe an dieser Stelle, jeweils in Metern gemessen. Wir nehmen an, dass die Geschwindigkeit am Beginn dieses Abschnitts, also an der Stelle 0 I. 0 m/s, II. 4 m/s beträgt. a. Berechne die Geschwindigkeit eines Wagens im Tiefpunkt dieses Streckenabschnitts. b. Ermittle die Geschwindigkeit im Hochpunkt dieses Streckenabschnitts. c. Berechne jeweils den Radius des Krümmungskreises in den beiden Extremwerten. d. Welche Beschleunigung wirkt auf den Fahrgast jeweils im Tiefpunkt und im Hochpunkt? e. Bestimme, wie stark das Gefälle dieser Bahn an der Stelle 0 ist. Gib das Gefälle in Prozent und im Gradmaß an. Extremwertaufgaben in Alltag und Technik 474 Wie sind die Abmessungen für eine oben offene quadratische Kiste mit einem Inhalt von 8dm 3 zu wählen, damit der Materialverbrauch möglichst gering ist? Ermittle die Maße der Kiste. Wir bezeichnen die Seitenlänge der Kiste mit s dm und die Höhe mit hdm. Dann ist s 2 h = 8 und h =   8 _  s 2 . Um die Kiste zu bauen, braucht man für die Grundfläche s 2 dm 2 und für die 4 Seitenwände 4·s·hdm 2 Material. Die Gesamtfläche ist daher s 2 + 4·s·h = s 2 + 4·s·  8 _  s 2 = s 2 +   32 _ s  dm 2 . Wir suchen also eine positive Zahl s so, dass s 2 +   32 _ s  möglichst klein ist. Dazu betrachten wir die rationale Funktion f mit f(x) = x 2 +   32 _ x  , die jeder Seitenlänge s die Gesamtfläche der Kiste s 2 +   32 _  s  zuordnet. Die Ableitung von f ist f’ mit f’(x) =   2x – 32 _ x 2 =   2x 3 – 32 __ x 2 . Die einzige positive Nullstelle von f’ ist 3 9 __ 16≈ 2,52. Die zweite Ableitung von f ist f’’ mit f’’(x) = 2 +   64 _ x 3 und es ist f’’( 3 9 __ 16) = 2 + 4 = 6 > 0. Daher ist 3 9 __ 16eine Minimumstelle von f. Der Materialverbrauch ist daher für die Seitenlänge 2,52dm am niedrigsten. 475 Die Summe der Quadrate zweier reeller Zahlen, deren Summe 22 beträgt, soll möglichst klein sein. Berechne die beiden Zahlen. 476 Die Zahl 320 ist so als Summe von zwei reellen Zahlen zu schreiben, dass das Produkt der beiden Zahlen möglichst groß ist. Ermittle die beiden Summanden. 477 Die Zahl 729 ist so als Produkt von zwei positiven reellen Zahlen zu schreiben, dass die Summe der beiden Zahlen möglichst klein ist. Gib die beiden Faktoren an. 478 Ein rechteckiges Feld mit einer Fläche von 800m 2 soll erstens umzäunt und zweitens durch einen Zaun parallel zu einer der Feldseiten in eine Kuhund eine Stierweide geteilt werden. Dabei soll möglichst wenig Zaun verbraucht werden. Berechne die zwei Seiten und ihren Quotienten. A, B x y 0 - 5 5 10 20 25 30 15 - 5 5 10 15 M M 1 N M 2 A, B ggb/mcd 6i632z eine Extremwert aufgabe lösen A, B A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv