Mathematik HTL 3, Schulbuch

110 Differentialrechnung 469 Berechne den Mittelpunkt und den Radius des Krümmungs kreises der Funktion f mit f(x) = x 2 an der Stelle 0 und erstelle eine Skizze. Für alle Zahlen x ist f’(x) = 2x und f’’(x) = 2, daher ist f(0) = 0, f’(0) = 0, f’’(0) = 2. Daher ist 0 eine Minimumstelle von f und der Krümmungskreis von f an der Stelle 0 hat den Radius   1 _  f’’(0) =   1 _ 2 und den Mittelpunkt 2 0 1 f(0) +   1 _ 2   3 = 2  0  1    1 _ 2     3 . 470 Ermittle den Mittelpunkt und den Radius des Krümmungskreises der Funktion f mit f(x) = ‒ 2x 2 an der Stelle 0. Für alle Zahlen x ist f’(x) = ‒ 4x und f’’(x) = ‒ 4, daher ist f(0) = 0, f’(0) = 0, f’’(0) = ‒ 4. Daher ist 0 eine Maximumstelle von f und der Krümmungskreis von f an der Stelle 0 hat den Radius   1 _  f’’(0) =   1 _ 4 und den Mittelpunkt 2  0  1  f(0) –   1 _ 4     3 = 2  0  1  –   1 _  4     3 . 471 Berechne die Extremstellen der Polynomfunktion f oder rationalen Funktion r und die Radien der Krümmungskreise in den Hochund Tiefpunkten, sowie die Mittelpunkte dieser Krümmungskreise. Zeichne anschließend den Funktionsgraphen gemeinsam mit den Krümmungskreisen. a. f(x) = x 2 b. f(x) =   1 _  18 (x 3 – 27x) c. r(x) =   27 _  x 2 + 9 472 Ein Abschnittsprofil einer Achterbahn wird durch die Polynomfunktion h mit h(x) =   x 3 – 24x 2 __ 180  + 12 mit Grad 3 modelliert. Dabei ist h(z) für z * [0; 20] die Höhe in Metern, wenn der Wagen in der Horizontalen z Meter vom Hochpunkt entfernt ist. Um die Geschwindigkeit des AchterbahnWagens in einem Punkt (z 1 h(z)) der Bahn zu berechnen, bedient man sich des Energieerhaltungssatzes. Vernachlässigt man Reibungsverluste, so sagt dieser aus, dass in jedem Punkt der Bahn die Summe aus potentieller und kinetischer Energie konstant ist. Nehmen wir an, dass die Geschwindigkeit v(H) des Wagens am höchsten Punkt (Höhe H m) der Bahn gleich 0m/s ist, so ist die gesamte Energie in diesem Punkt durch die potentielle Energie E pot = m·g·H gegeben. Dabei ist g = 9,81m/s 2 . An der Stelle z ist die potentielle Energie auf E pot (z) = m·g·h(z) gesunken, dafür besitzt der Wagen jetzt zusätzlich die kinetische Energie E kin (z) =   m·v(z) 2 __ 2  . Es gilt dabei: m·g·h(z) +   m·v(z) 2 __ 2  = m·g·H | :m g·h(z) +   v(z) 2 _ 2  = g·H | ‒g·h(z) v(z) 2 = 2g·(H – h(z)) v(z) = 9 _______ 2g·(H – h(z)) a. Berechne den Tiefpunkt dieses Abschnitts der Achterbahn. Berechne die Geschwindigkeit des Wagens im Tiefpunkt des Graphen der Funktion h. b. Ermittle den Radius des Krümmungskreises im Tiefpunkt des Graphen der Funktion h. c. Die Beschleunigung, die im Tiefpunkt dieses Abschnitts der Achterbahn auf den Fahrgast wirkt, entspricht der Zentrifugalkraft im Krümmungskreis und ist daher a =   v 2 _ r  . Berechne diese Zentrifugalkraft und gib diese als Vielfaches der Erdbeschleunigung an. d. Berechne, an welcher Stelle die Bahn das größte Gefälle aufweist, und gib das Gefälle in Prozent und in Grad an. B ggb qd6v4s den Krümmungs- kreis in einer Extremstelle einer Funktion berechnen x y 0 -1 1 1 (0 1 0,5) B den Krümmungs- kreis in einer Extremstelle einer Funktion berechnen B A, B x y 0 - 5 5 10 15 20 25 - 5 5 10 15 M Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv