Mathematik HTL 3, Schulbuch

109 2.4 Zweite Ableitung und quadratische Näherung 468 Bei den Leichtathletikweltmeisterschaften 2009 in Berlin wurden beim 100m-Lauf der Herren auch die Zwischenzeiten bei 20m, 40m, 60m und 80m gestoppt und in einer Tabelle zusammen gefasst. Platz Läufer 20m 40m 60m 80m 100m 1 Usain Bolt 2,89 4,64 6,31 7,92 9,58 2 Tyson Gay 2,92 4,70 6,39 8,02 9,71 3 Asafa Powell 2,91 4,71 6,42 8,10 9,84 4 Daniel Bailey 2,92 4,73 6,48 8,18 9,93 5 Richard Thompson 2,90 4,71 6,45 8,17 9,93 6 Dwain Chambers 2,93 4,75 6,50 8,22 10,00 7 Marc Burns 2,94 4,76 6,52 8,24 10,00 8 Darvis Patton 2,96 4,85 6,65 8,42 10,34 Erstelle für einen Läufer deiner Wahl eine ZeitWegfunktion s, die jeder Zahl t den in t Sekunden zurückgelegten Weg s(t) in m zuordnet. Wähle für s eine geeignete Polynomfunktion. Bedenke, dass zum Zeitpunkt 0 sowohl der zurückgelegte Weg, als auch die Momentangeschwindigkeit 0 sein müssen. a. Begründe, warum diese Polynomfunktion (mindestens) den Grad 6 haben muss. b. Berechne die Koeffizienten dieser Funktion und zeichne ihren Funktionsgraphen. c. Finde mithilfe dieser ZeitWegFunktion den Zeitpunkt, an dem der Läufer seine Maximal geschwindigkeit erreicht hat, und berechne diese Maximalgeschwindigkeit. Krümmungskreise in Extremstellen einer Funktion Der Graph der Funktion k + von (a – r; a + r) nach R mit k + (x) = 9 ______ r 2 – (x – a) 2  + b ist ein Halbkreis mit dem Mittelpunkt (a 1 b) und dem Radius r > 0. Es ist (k + )’(x) =   ‒2(x – a) __  2 9 __ ___ r 2 – (x – a) 2   =   ‒(x – a) __  9 ______ r 2 – (x – a) 2   und (k + )’’(x) =   ‒1· 9 ______ r 2 – (x – a) 2  – (x – a)·  ‒(x – a) __  9 ___ __ r 2 – (x – a) 2   _____  r 2 – (x – a) 2 . Daher ist (k + )’(a) = 0 und (k + )’’(a) = ‒   r _  r 2 = ‒   1 _ r < 0, insbesondere ist (a 1 k + (a)) = (a 1 b + r) ein Hochpunkt des Graphen von k + . Der Graph der Funktion k – von (a – r; a + r) nach R mit k ‒ (x) = ‒ 9 ______ r 2 – (x – a) 2 + b ist ein Halbkreis mit dem Mittelpunkt (a 1 b) und dem Radius r > 0. Es ist (k ‒ )’(x) =   2(x – a) __  2 9 __ ___ r 2 – (x – a) 2   =   x – a __  9 ___ __ r 2 – (x – a) 2   und (k ‒ )’’(x) =   ‒ 9 ______ r 2 – (x – a) 2  + (x – a)·  ‒(x – a) __  9 ___ __ r 2 – (x – a) 2   _____  r 2 – (x – a) 2 . Daher ist (k ‒ )’(a) = 0 und (k ‒ )’’(a) =   r _  r 2 =   1 _  r > 0, insbesondere ist (a 1 k ‒ (a)) = (a 1 b – r) ein Tiefpunkt des Graphen von k ‒ . Fügt man die Graphen von k + und k ‒ und zusammen, erhält man einen Kreis mit Mittelpunkt (a 1 b) und Radius r > 0. Wir betrachten eine differenzierbare Funktion f mit f’(a) = 0. Der durch die Graphen der Funktionen k + und k ‒ gegebene Kreis mit Mittelpunkt (a 1 b) und Radius r > 0 heißt Krümmungs- kreis der Funktion f an der Extremstelle a, wenn die quadratischen Näherungen an der Stelle a von k + oder k ‒ und von f gleich sind. In diesem Fall ist f’’(a) = (k + )’’(a) oder f’’(a) = (k ‒ )’’(a), also ist r =   1 _  † f’’(a) †  und der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist (a 1 f(a) + r), wenn a eine Minimumstelle von f ist, und (a 1 f(a) – r), wenn a eine Maximumstelle von f ist. A, B, D Krümmungs- kreis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv