Mathematik HTL 3, Schulbuch

108 Differentialrechnung 464 Die Straßenabschnitte sollen durch ein geeignetes Verbindungsstück „glatt” miteinander verbunden werden. Ermittle dazu jeweils eine geeignete Polynomfunktion p mit möglichst kleinem Grad, die die folgenden Anforderungen erfüllt und stelle dann den Straßenabschnitt graphisch dar. a. Der Graph von p soll die Punkte B und C enthalten und an diesen beiden Stellen jeweils dieselbe „Steigung” besitzen wie die bereits vorhandenen geradlinigen Straßenabschnitte. b. Zusätzlich sollen die Punkte B und C Wendepunkte des Graphen von p sein. 465 Für eine EisenbahnGleisverbindung zwischen zwei parallel verlaufenden Gleisen in einem Abstand von 4m wird eine 35m lange Verbindung geplant. Die Gleisverbindung soll an beiden Gleisen parallel anschließen. a. Fertige eine Skizze an und finde eine Polynomfunktion, deren Graph die Gleisverbindung gut annähert. b. Berechne den maximalen Gleiswinkel den das Schienenfahrzeug auf der Verbindung zu befahren hat. c. Ermittle, wie lang die Gleisverbindung sein darf, wenn der maximale Kurvenwinkel 8° nicht übersteigen soll. Löse das auftretende Gleichungssystem mithilfe eines CAS. 466 Um den Eingangsbereich eines Altbaus für Menschen mit besonderen Bedürfnissen leichter zugänglich zu machen, soll eine Rampe konstruiert werden. Für die Konstruktion soll auf einer waagrechten Entfernung von 2m ein Höhenunterschied von 40 cm ausgeglichen werden. Die Rampe soll dabei beide Ebenen ohne Kanten „glatt” verbinden. Man entscheidet sich, für das Profil dieser Rampe den Graphen einer Polynomfunktion f mit f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d mit Grad 3 zu wählen, der an den zwei Anschlussstellen einen Tiefpunkt und einen Hochpunkt hat. Dabei soll der Ursprung des Koordinatensystems an der Position liegen, an der die Rampe die Straße berührt und der Eingangsbereich auf der Seite der positiven xAchse. Als Längeneinheit wählen wir Zentimeter. a. Fertige eine Skizze der Rampe an. b. Berechne die Koeffizienten a, b, c und d. c. Ermittle die maximale Steigung der Rampe in Prozent und in Grad. 467 Lorenz und Benjamin wollen feststellen, wie hoch sie einen Fußball schießen können. Zu diesem Zweck schießen sie den Fußball in die Höhe und stoppen die Zeit, die es dauert, bis der Ball wieder am Boden aufschlägt. Lorenz schafft bei seinem besten Versuch eine Flugdauer von 3,7 Sekunden, Benjamins Rekord liegt bei 4,3 Sekunden. Sie wissen, dass die Höhe des Balls t Sekunden nach dem Abschluss gleich h(t) = ​  ‒9,81 _ 2  ​t 2 + v 0 ·t + h 0 ist, dabei ist v 0 die Abschuss­ geschwindigkeit in m/ s und h 0 die Abschusshöhe in m. Lorenz und Benjamin schätzen, dass sich der Fußball beim Abschuss ca. 50cm über dem Boden befindet. a. Berechne, mit welcher Geschwindigkeit v 0 I. Lorenz,  II. Benjamin den Ball abgeschossen hat. b. Ermittle die maximale Höhe, die  I. Lorenz,  II. Benjamin mit seinem Schuss erreicht hat. c. Berechne für  I. Lorenz’,  II. Benjamins Versuch h’(1). Erkläre die Bedeutung dieser Zahl. d. Begründe, warum h’’(t) unabhängig von v 0  , h 0 und t stets dieselbe Zahl ergibt und erkläre die Bedeutung dieser Zahl. A, B, C x y 0 1 -1 - 2 2 3 4 4 5 6 7 8 3 2 1 - 2 -1 B A C D A, B A, B A, B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv