Mathematik HTL 3, Schulbuch

107 2.4 Zweite Ableitung und quadratische Näherung Da vier Gleichungen gegeben sind, benötigen wir für die Modellierung des Verbindungsstücks mindestens 4 Unbekannte a, b, c, d und wählen eine Polynomfunktion p mit Grad 3: p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d. Die 4 Gleichungen werden dadurch zu I) a·0 3 + b·0 2 + c·0 + d = ‒4 II) 3a·0 2 + 2b·0 + c = ​  1 _ 4  ​ III) a·12 3 + b·12 2 + c·12 + d = 4 IV) 3a·12 2 + 2b·12 + c = ‒ ​  1 _ 2 ​ . Dieses Gleichnungssystem lösen wir mit Technologieeinsatz und erhalten: a = ‒ ​  19 _  1728  ​ , b = ​  1 _ 6 ​ , c = ​  1 _ 4 ​ , d = ‒ 4 Die Verbindungsstraße kann durch den Graphen der Polynomfunktion p mit p(x) = ‒ ​  19 _  1728  ​x 3 + ​  1 _ 6 ​x 2 + ​  1 _ 4 ​x – 4 modelliert werden. b. Jetzt kommen noch zwei weitere Bedingungen hinzu: V) p’’(0) = 0 und VI) p’’(12) = 0, da 0 und 12 Wendestellen von p sind. Wir haben nun insgesamt 6 Gleichungen und benötigen mindestens 6 Unbekannte a, b, c, d, e, f und wählen daher eine Polynomfunktion p mit p(x) = ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f mit Grad 5. Die Gleichungen werden zu I) a·0 5 + b·0 4 + c·0 3 + d·0 2 + e·0 + f = ‒4 II) 5a·0 4 + 4b·0 3 + 3c·0 2 + 2d·0 + e = ​  1 _ 4 ​ III) a·12 5 + b·12 4 + c·12 3 + d·12 2 + e·12 + f = 4 IV) 5a·0 4 + 4b·0 3 + 3c·0 2 + 2d·0 + e = ‒ ​  1 _ 2 ​ V) 20a·0 3 + 12b·0 2 + 6c·0 + 2d = 0 VI) 20a·12 3 + 12b·12 2 + 6c·12 + 2d = 0. Als Lösung erhalten wir a = ​  19 _  82944 ​ , b = ‒ ​  23 _  3456 ​ , c = ​  43 _  864 ​ , d = 0, e = ​  1 _ 4 ​ , f = ‒ 4. Der Verlauf der Verbindungsstraße kann durch den Graphen der Funktion p(x) = ​  19 _  82944 ​x 5 – ​  23 _  3456 ​x 4 + ​  43 _  864 ​x 3 + ​  1 _ 4 ​x – 4 modelliert werden. 463 Die geradlinigen Straßenabschnitte sollen durch ein geeignetes Verbindungsstück „glatt” miteinander verbunden werden. Ermittle dazu jeweils eine geeignete Polynomfunktion p mit möglichst geringem Grad, die die folgenden Anforderungen erfüllt. a. Der Graph von p soll die Punkte B und C enthalten und an diesen beiden Stellen jeweils dieselbe „Steigung” besitzen, wie die bereits vorhandenen geradlinigen Straßenabschnitte. b. Zusätzlich sollen die Punkte B und C Wendepunkte des Graphen von p sein. x y 0 4 - 4 - 8 -12 8 12 20 16 12 8 4 - 4 - 8 A B C D x y 0 4 - 4 - 8 -12 8 12 20 16 12 8 4 - 4 - 8 A B C D A, B, C x y 0 1 -1 2 3 4 5 - 4 4 5 6 3 2 1 - 3 - 2 -1 A B C D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv