Mathematik HTL 3, Schulbuch

106 Differentialrechnung 459 Der Graph der Funktion f mit f(x) = 9 ______ ax 2 + bx + centhält den Punkt (2 1 3) und den Hochoder Tiefpunkt (6 1 5). Berechne die Zahlen a, b und c. Aus den Bedingungen für f folgt, dass f(2) = 3, f(6) = 5 und f’(6) = 0 ist. Mithilfe der Kettenregel erhält man f’(x) =   2ax + b __  2 9 __ ___ ax 2 + bx + c . Die Gleichungen zur Bestimmung der Koeffizienten sind somit: I) 9 ______ 4a + 2b + c= 3 II) 9 _______ 36a + 6b + c= 5 III)   12a + b __  2 9 ___ ___ 36a + 6b + c = 0 Wir vereinfachen das Gleichungssystem indem wir I) und II) quadrieren und III) mit 2· 9 _______ 36a + 6b + c≠ 0 multiplizieren. Wir erhalten dann das lineare Gleichungssystem I) 4a + 2b + c = 9 II) 36a + 6b + c = 25 III) 12a + b = 0. Als Lösung erhalten wir die gesuchten Koeffizienten a = ‒1, b = 12 und c = ‒11. Da 4a + 2b + c = 9 > 0 und 36a + 6b + c = 25 > 0 positiv sind, sind die Zahlen unter den Wurzeln positiv, daher ist das Ergebnis sinnvoll. 460 Der Graph der Funktion f mit f(x) = 9 ______ ax 2 + bx + centhält den Punkt (6 1 6) und den Hochoder Tiefpunkt (2 1 10). Berechne die Koeffizienten a, b und c. 461 Der Graph der Funktion f mit f(x) = 9 ______ ax 2 + bx + centhält den Punkt (5 1 6) und den Hochoder Tiefpunkt (1 1 2). Berechne die Koeffizienten a, b und c. 462 Zwei geradlinige Straßenabschnitte sollen durch ein geeignetes Verbindungsstück an den Punkten B und C „glatt” miteinander verbunden werden. Wähle für das Verbindungsstück eine Polynomfunktion p mit den folgenden Eigenschaften. a. Der Graph von p soll die Punkte B und C enhalten und an diesen beiden Stellen jeweils dieselbe „Steigung” besitzen, wie die bereits vorhandenen geradlinigen Straßenabschnitte. b. Zusätzlich sollen B und C Wendepunkte des Graphen von p sein. Berechne jeweils eine Polynomfunktion möglichst kleinen Grades, die diese Anforderungen erfüllt und zeichne den fertigen Straßenverlauf. a. Die Steigung im Punkt B = (0 1 ‒ 4) entnehmen wir der Zeichnung. Sie beträgt   2 _ 8 =   1 _ 4 . Die Steigung im Punkt C = (12 1 4) beträgt ‒   1 _ 2 . Die Funktion p muss die folgenden Anforderungen erfüllen: I) p(0) = ‒ 4, da der Graph von p den Punkt B enthält. II) p’(0) =   1 _ 4 , da die Tangente an den Graphen von p in B die Steigung   1 _ 4 hat. III) p(12) = 4, da der Graph von p den Punkt C enthält. IV) p’(12) = ‒   1 _ 2 , da die Tangente an den Graphen von p in C die Steigung ‒   1 _ 2 hat. A, B eine Wurzel- funktion mit vorgegebenen Eigenschaften bestimmen ggb/mcd 4hm22u A, B A, B A, B, C eine Umkehraufgabe lösen x y 0 4 - 4 - 8 -12 8 12 20 16 12 8 4 - 4 - 8 A B C D ggb/mcd i8uw33 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv