Mathematik HTL 3, Schulbuch

104 Differentialrechnung Umkehraufgaben Bisher haben wir Eigenschaften von gegebenen differenzierbaren Funktionen bestimmt. Nun geben wir die Eigenschaften vor und suchen Funktionen, die diese Eigenschaften haben. Solche Aufgaben müssen wir lösen, wenn wir zum Beispiel irgendeine Situation durch eine Funktion modellieren wollen. 438 Bestimme die Koeffizienten der quadratischen Funktion, deren Graph die Punkte (2 1 7) und (‒ 3 1 2) enthält und deren Tangente an der Stelle ‒2 die Steigung ‒2 hat. Wir suchen drei Zahlen a, b und c so, dass die quadratische Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c die Bedingungen f(2) = 7, f(‒ 3) = 2 und f’(‒ 2) = ‒ 2 erfüllt. Wegen f’(x) = 2ax + b bedeutet das: I) 4a + 2b + c = 7 II) 9a – 3b + c = 2 III) ‒ 4a + b = ‒2 Als Lösung dieses Systems von 3 linearen Gleichungen mit 3 Unbekannten erhalten wir die Koeffizienten a = 1, b = 2 und c = ‒1. Daher ist f(x) = x 2 + 2x – 1. 439 Eine Polynomfunktion mit Grad 3 hat den Wendepunkt (2 1 ‒3) und in (1 1 ‒1) einen Hoch- oder Tiefpunkt. Berechne die Koeffizienten der Polynomfunktion. Die gesuchten Koeffizienten bezeichnen wir mit a, b, c, d, dann ist f mit f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d die gesuchte Polynomfunktion. Ihre erste und zweite Ableitung sind f’ und f’’ mit f’(x) = 3ax 2 + 2bx + c f’’(x) = 6ax + 2b. Wir schreiben nun an, was die Bedingungen in der Angabe für die Zahlen a, b, c und d bedeuten: I) a·2 3 + b·2 2 + c·2 + d = ‒3 … (2 1 ‒3) ist ein Punkt des Graphen von f, also ist f(2) = ‒3 II) 6a·2 + 2b = 0 … 2 ist eine Wendestelle von f , also ist f’’(2) = 0 III) a·1 3 + b·1 2 + c·1 + d = ‒1 … (1 1 ‒ 1) ist ein Punkt des Graphen von f, also ist f(1) = ‒1 IV) 3a·1 2 + 2b·1 + c = 0 … f hat an der Stelle 1 einen Extremwert, also ist f’(1) = 0 Dieses System von 4 linearen Gleichungen mit 4 Unbekannten lösen wir mit einem geeigneten Rechner und erhalten a = 1, b = ‒6, c = 9, d = ‒5, daher ist f(x) = x 3 – 6x 2 + 9x – 5. 440 Eine quadratische Funktion hat 2 als Nullstelle. Ihr Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0 1 ‒4). Die Ableitung der Funktion an der Stelle 3 ist 4. Berechne die Koeffizienten der Polynomfunktion. 441 Eine quadratische Funktion hat ‒6 als Nullstelle. Ihr Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0 1 ‒3). Die Steigung der Tangente der Funktion an der Stelle 4 ist 3. Ermittle die Koeffizienten der Poly­ nomfunktion. 442 Der Graph einer Polynomfunktion mit Grad 3 schneidet die xAchse im Punkt (1 1 0) und die yAchse im Punkt (0 1 ‒ 4). Die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt (2 1 12) beträgt 17. Ermittle die Koeffizienten der Polynomfunktion. 443 Eine Polynomfunktion mit Grad 3 hat 0 und 2 als Nullstellen. An der Wendestelle ‒ ​  1 _ 3 ​beträgt die Steigung der Tangente dieser Polynomfunktion ‒ ​  19 _ 12 ​ . Bestimme die Koeffizienten der Polynom­ funktion. A, B eine Polynom- funktion mit vorgegebenen Eigenschaften bestimmen  ggb/mcd/tns an22qz A, B eine Polynom- funktion mit vorgegebenen Eigenschaften bestimmen  ggb/mcd/tns 55n55a A, B A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – E gentum des Verlags öbv