Mathematik HTL 3, Schulbuch

103 2.4 Zweite Ableitung und quadratische Näherung Berechnung der Nullstellen: Die Nullstellen von f sind die Nullstellen ihres Zählers, wegen 2x 2 – 3x = x(2x – 3) also 0 und   3 _ 2 . Die Schnittpunkte des Graphen von f mit der xAchse sind daher (0 1 0) und 2      3 _ 2   1  0  3 . Berechnung der Extremstellen und der Wendestellen: Mithilfe der Quotientenregel berechnen wir die Ableitung f’ von f f’(x) =   4x 2 + 4x – 3 __ (2x + 1) 2 und dann die zweite Ableitung f’’ von f f’’(x) =   (8x + 4)(2x + 1) 2 – (4x 2 + 4x – 3)(2·(2x + 1)·2) ______  (2x + 1) 4 . Beachte, dass in den beiden Summanden des Zählers jeweils der Faktor (2x + 1) vorkommt. Diesen können wir daher herausheben und gleich mit dem Nenner kürzen. Der Bruch vereinfacht sich daher zu f’’(x) =   (8x + 4)(2x + 1) – (4x 2 + 4x – 3)(2·2) _____ (2x + 1) 3 =   (16x 2 + 8x + 8x + 4) – (16x 2 + 16x – 12) _____ (2x + 1) 3 = =   16x 2 + 16x + 4 – 16x 2 – 16x + 12 ____  (2x + 1) 3 =   16 __  (2x + 1) 3 , also ist f’’(x) =   16 __  (2x + 1) 3 . Für eine Nullstelle x von f’ muss 4x 2 + 4x – 3 = 0 sein, also sind ‒   3 _ 2  und   1 _ 2 die Nullstellen von f’. Die Funktionswerte von f’’ an den Stellen ‒   3 _ 2 und   1 _ 2 sind f’’ 2    3 _ 2   3 = ‒ 2 < 0 und f’’ 2    1 _ 2   3 = 2 > 0, also ist ‒   3 _ 2 eine Maximumstelle und   1 _ 2 ist eine Minimumstelle. Die Funktionswerte von f an den Stellen ‒   3 _ 2 und   1 _ 2 sind f 2 ‒   3 _ 2   3 = ‒ 4,5 und f 2    1 _ 2   3 = ‒   1 _ 2 . Der Graph von f hat daher einen Hochpunkt H = (‒1,5 1 ‒ 4,5) und einen Tiefpunkt T = (0,5 1 ‒ 0,5). Beachte, dass das lokale Maximum kleiner ist als das lokale Minimum. Da es außer ‒   3 _ 2 und   1 _ 2 keine weiteren Nullstellen von f’ gibt, gibt es keine Wendestelle. Funktionsgraph: 434 Diskutiere die rationale Funktion f mit f(x) =   x 2 + 1 _ x 2 – 1 mithilfe eines CAS. 435 Diskutiere die rationale Funktion f mit f(x) =   2x 2 + 3x + 2 __ x + 1  und zeichne dann den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem. 436 Diskutiere die rationale Funktion f mit f(x) =   2x 2 + 3x – 1 __  4x – 2  und zeichne dann ihren Graphen. 437 Diskutiere die rationale Funktion f mit f(x) =   x 3 + 6x 2 – x – 30 ___ 4x + 8  und zeichne ihren Graphen. x y 0 - 2 - 4 - 6 2 4 - 4 4 6 2 - 2 a 1 a 2 f B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv