Mathematik HTL 3, Schulbuch

102 Differentialrechnung 428 Bestimme den (möglichst großen) Definitionsbereich, alle Nullstellen, alle Extremstellen, alle Wendestellen und zeichne den Graphen der Funktion. a. a mit a(x) = 9 _ x c. c mit c(x) = x 9 ___ 1 – x 2 e. g mit g(x) = 9 ____ 9 –   9 _ 4 x 2 b. b mit b(x) = x 9 _ x d. d mit d(x) = x 9 ____ 5x – x 2 f. f mit f(x) = x 9 ___ x 2 + 1 429 Ermittle den (möglichst großen) Definitionsbereich, alle Nullstellen, Extremstellen und Wende stellen. Gib weiters an, wo die Funktion g streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend ist und wo sie konvex bzw. konkav ist. Zeichne den Graphen der Funktion. a. g(x) = x 3 –   3 _ 2 x 2 –   9 _ 2 x c. g(u) = u·e u e. g(x) =   x 3 _  x – 1 b. g(x) = 8x – 2x 2 – x 3 d. g(u) =   u _  u + 1  ·e u f. g(x) =   x _  x 3 – 1 430 Zeige, dass die Polynomfunktion f mit f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d keine Extremstellen hat, wenn b 2 < 3ac ist. 431 Zeige, dass für jede Polynomfunktion f mit Grad 3 gilt: Wenn x 1 und x 2 Extremstellen von f sind, so ist f’’(x 2 ) = ‒ f’’(x 1 ). 432 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = e sin(x) . Zeige: Ist a eine lokale Minimumstelle von f, dann sind die Tangenten der Graphen von f und von f’’ an der Stelle a gleich. Diskussion von Funktionen Wir haben bisher viele Eigenschaften von Funktionen kennengelernt, ebenso haben wir beson dere Stellen von Funktionen betrachtet. Nun tragen wir alle Informationen über eine Funktion zusammen und versuchen damit den Graphen „gut” zu zeichnen. Eine Funktion zu diskutieren heißt, die (möglichst große) Definitionsmenge, alle Asymptoten, alle Polstellen, Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen dieser Funktion, sowie die Funktions werte an diesen Stellen zu berechnen. 433 Diskutiere die rationale Funktion f mit f(x) =   2x 2 – 3x __ 2x + 1  und skizziere dann den Graphen der Funktion. Berechnung der Definitionsmenge und der Polstellen: Die Definitionsmenge von f ist R ohne die Nullstellen des Nenners, also R \ {  ‒   1 _ 2   } . Für x = ‒   1 _ 2 ist 2x 2 – 3x = 2, also werden die Funktionswerte von f beliebig groß, wenn sich die Argumente auf der Halbgeraden 2 ‒   1 _ 2 ; •  3 der Zahl ‒   1 _ 2 nähern und negativ mit beliebig großem Betrag, wenn sich die Argumente auf der Halbgeraden 2 ‒ • ; ‒   1 _ 2   3 der Zahl ‒   1 _ 2 nähern. Also ist ‒   1 _ 2 eine Polstelle von f. Berechnung der Asymptoten: Nach Division des Zählers von f mit Rest durch den Nenner von f erhalten wir für alle x 2x 2 – 3x = (x – 2)(2x + 1) + 2, also ist f(x) =   (x – 2)(2x + 1) + 2 ___  2x + 1  = x – 2 +   2 _  2x + 1 . Wegen lim    z ¥• (f(z) – (z – 2)) = lim  z ¥•   2 _  2z + 1 = 0 ist der Graph der linearen Funktion a mit a(x) = x – 2 eine Asymptote des Graphen von f bei • . Wegen  lim     z ¥ ‒ • (f(z) – (z – 2)) =  lim     z ¥ ‒ •   2 _  2z + 1 = 0 ist der Graph der linearen Funktion a auch eine Asymptote des Graphen von f bei ‒ • . Die Asymptote ist die Gerade durch die Punkte (0 1 ‒ 2) und (2 1 0). B B D D D Diskussion einer Funktion B ggb/mcd/tns qg3d63 eine Funktion diskutieren Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv