Mathematik HTL 3, Schulbuch

101 2.4 Zweite Ableitung und quadratische Näherung Die Wendetangente t w ist daher die Gerade mit Steigung f’ 2    2 _ 3   3 ≈ ‒ 3,27 durch den Punkt 2      2 _  3   1  2,12  3 . Eine Gleichung dieser Geraden ist 3,27x + y ≈ 3,27·  2 _ 3 – 2,12 ≈ 0,06. b. Wir zeichnen zunächst alle berechneten Punkte des Graphen und die Wendetangente in ein Koordinatensystem. Anschließend skizzieren wir den Funktionsgraphen, wobei wir benützen, was wir über Monotonie und Konvexität der Funktion wissen. 422 Berechne alle Schnittpunke des Graphen der Polynomfunktion p mit der xAchse, seine Hoch punkte, Tiefpunkte und Wendepunkte und skizziere dann den Graphen. a. p(x) =   1 _ 5 (x 3 – 2x 2 – 11x + 12) c. p(x) =   x 3 _ 12 +   x 2 _  4 – 2x +   1 _ 3 e. p(x) =   1 _ 4 ·(x 3 – 3x 2 – 10x + 24) b. p(x) = ‒   x 4 _  4 + 2x 2 d. p(x) =   1 _ 9 ·(x 3 – 6x 2 – 15x + 55) f. p(x) = ‒   x 4 _ 32 + x 2 – 2 423 Berechne die Schnittpunke des Graphen der Polynomfunktion f mit der xAchse, seine Hoch punkte, Tiefpunkte und Wendepunkte. Gib weiters an, wo die Funktion streng monoton wach send bzw. streng monoton fallend ist und wo sie konvex bzw. konkav ist. Zeichne den Graphen. a. f(x) = x 2 – 1 c. f(x) = x 3 + 2x 2 – 3x e. f(x) = x 3 – 10x 2 + 8x + 64 b. f(x) = x 3 + 6x 2 + 9x d. f(x) = x 3 – 4,5x 2 – 3x + 2,5 f. f(x) = ‒ x 3 + 5x 2 + 17x – 21 424 Bestimme alle Schnittpunke des Graphen der Funktion mit der xAchse, seine Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte. Zeichne dann den Graphen der Funktion. a. a mit a(t) = e   t _  2 c. c mit c(t) = e ‒t e. g mit g(t) = t 2 ·e t b. b mit b(t) = t·e t d. d mit d(t) =   t _  e t f. f mit f(t) =   t 3 _ e t 425 Bestimme den (möglichst großen) Definitionsbereich, die Schnittpunke des Graphen der Funk tion mit der xAchse, seine Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte. Zeichne den Graphen der Funktion. a. a mit a(z) = ln(z) c. c mit c(z) = z·ln(z) e. g mit g(z) = z + ln(z) b. b mit b(z) = ‒ ln 2    z _ 2   3 d. d mit d(z) =   ln(z) _ z  f. f mit f(z) =   ln(z) – 1 __ z  426 Bestimme den (möglichst großen) Definitionsbereich, die Schnittpunke des Graphen der rationalen Funktion f mit der xAchse, seine Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte. Zeichne den Graphen der rationalen Funktion. a. f(x) =   1 _ x b. f(x) =   1 _  x 2 c. f(x) = 1 +   1 _ x d. f(x) =   1 + x 2 _ x  e. f(x) =   x _  x 2 + 1 f. f(x) =   2x – 1 _ 3x + 1 427 Bestimme alle Nullstellen, alle Extremstellen, alle Wendestellen der Funktion und zeichne den Graphen der Funktion über dem Intervall [0; 2 π ]. a. a mit a(t) = sin(t) c. c mit c(t) = sin(t) + cos(t) e. g mit g(t) = t + sin(t) b. b mit b(t) = cos 2    t _ 2   3 d. d mit d(t) = sin(t) – cos 2    t _ 2   3 f. f mit f(t) = cos 2 (t) x y 0 - 4 - 2 2 6 4 - 4 - 6 - 8 - 2 2 4 N 1 H t W N 2 W T N 3 x y 0 - 4 - 2 2 6 4 - 4 - 6 - 8 - 2 2 4 N 1 H t W f N 2 W T N 3 B B B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv