Mathematik HTL 3, Schulbuch

100 Differentialrechnung 420 Logistisches Wachstum kann durch eine Funktion f mit f(t) =   a __  1 + b·e ‒k·t beschrieben werden. a. Zeige durch Nachrechnen, dass f’(t) = a·b·k·   e ‒k·t __  (1 + b·e ‒k·t ) 2 ist. b. Beweise durch Nachrechnen, dass f’’(t) = ‒ a·b·k 2 ·e ‒k·t ·   (1 – b·e ‒k·t ) 2 __ 1 + b·e ‒k·t ist. c. Zeige durch Nachrechnen, dass die   ln(b) _ k  die einzige Wendestelle von f ist und dass f 2    ln(b) _ k    3 =   a _ 2 ist. d. Begründe durch Nachrechnen, dass die Steigung der Wendetangente   a·k _ 4  ist. Graphen von zweimal differenzierbaren Funktionen zeichnen Um den Graphen einer zweimal differenzierbaren Funktion „gut” zeichnen zu können, versuchen wir zuerst, alle Nullstellen, alle Extremstellen und alle Wendestellen der Funktion zu bestimmen. Dann überlegen wir uns, über welchen Intervallen die Funktion streng monoton wachsend oder fallend ist, über welchen Intervallen sie konkav oder konvex ist und zeichnen an einigen Stellen Tangenten. Ist a eine lokale Maximumstelle einer Funktion f, dann heißt der Punkt (a 1 f(a)) ein Hochpunkt des Graphen von f. Ist a eine lokale Minimumstelle einer Funktion f, dann heißt der Punkt (a 1 f(a)) ein Tiefpunkt des Graphen von f. Ist a eine Wendestelle einer Funktion f, dann heißt der Punkt (a 1 f(a)) ein Wendepunkt des Graphen von f. 421 a. Berechne alle Nullstellen, lokalen Extremstellen, Wendestellen und die Wendetangenten der Polynomfunktion f mit f(x) =   1 _ 5 (x 3 – 2x 2 – 15x). b. Zeichne die in Aufgabe a. berechneten Schnittpunkte des Graphen von f mit der xAchse, seine Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte und die Wendetangenten in ein Koordinaten system und skizziere den Verlauf des Funktionsgraphen. a. Die Nullstellen von f mit f(x) =   1 _ 5 ·x·(x 2 – 2x – 15) sind 0, ‒3 und 5, die Schnittpunkte des Graphen von f mit der xAchse sind daher N 1 = (‒ 3 1 0), N 2 = (0 1 0) und N 3 = (5 1 0). Die Nullstellen von f’ mit f’(x) =   1 _ 5 (3x 2 – 4x – 15) sind 3 und ‒   5 _ 3 . Die zweite Ableitung von f ist f’’ mit f’’(x) =   1 _ 5 (6x – 4). Es ist f’’(3) = 2,8 > 0, daher ist 3 eine Minimumstelle. Der entsprechende Extremwert ist f(3) = ‒7,2, daher ist T = (3 1 ‒7,2) ein Tiefpunkt des Graphen von f. Es ist f’’ 2 ‒   5 _ 3   3 = ‒ 2,8 < 0, daher ist ‒   5 _ 3 eine Maximumstelle. Der entsprechende Extremwert ist f 2 ‒   5 _  3   3 =   80 _ 27 , daher ist H = 2  ‒     5 _ 3 1    80 _ 27   3 ein Hochpunkt des Graphen von f. Die Funktionswerte von f’ für Argumente aus dem Intervall 2 ‒   5 _ 3 ; 3  3 haben alle dasselbe Vorzeichen, wegen f’(0) = ‒ 3 < 0 sind sie alle negativ. Daher ist f auf dem Intervall 2 ‒   5 _ 3 ; 3  3 streng monoton fallend. Analog zeigt man, dass f auf dem Halbgeraden 2 ‒ • ; ‒   5 _ 3   3 und (3; • ) streng monoton wachsend ist. Die einzige Nullstelle von f’’ mit f’’(x) =   1 _ 5 (6x – 4) ist   2 _ 3 . Auf der Halbgeraden 2 ‒ • ;   2 _ 3   3 hat f’’ nur negative Funktionswerte, also ist die Funktion f über dieser Halbgeraden konkav. Auf der Halbgeraden 2 ‒ • ;   2 _ 3   3 hat f’’ nur positive Funktionswerte, also ist die Funktion f über dieser Halbgeraden konvex. Daher ist   2 _ 3 eine Wendestelle von f. Der Funktionswert von f an dieser Stelle ist f 2    2 _ 3   3 ≈ ‒ 2,12, somit ist W = 2      2 _ 3 1  ‒ 2,12  3 ein Wendepunkt des Graphen von f. D Hochpunkt Tiefpunkt Wendepunkt B Nullstellen, lokale Extremstellen, Wendestellen und Wende tangenten einer Funktion berechnen und ihren Graphen skizzieren ggb/mcd/tns pg7pd7 Nur zu Prüfzw cken – Eigentum es Verlags öbv