Mathematik HTL 3, Schulbuch

10 Konvergente Folgen und stetige Funktionen Monotonie von Folgen Eine Folge f: N ¥ R , n ¦ f n ist streng monoton wachsend, wenn für alle natürlichen Zahlen m und n gilt: Aus m < n folgt f m < f n . Eine Folge f: N ¥ R , n ¦ f n ist streng monoton fallend, wenn für alle natürlichen Zahlen m und n gilt: Aus m < n folgt f m > f n . Für jede positive Zahl q und alle natürlichen Zahlen m und n mit m < n ist q n = q m ·q n – m . Wenn q < 1 ist, dann ist auch q n – m < 1 und q n = q m ·q n – m < q m . Daher ist die geometrische Folge k q n l für q < 1 streng monoton fallend. Wenn q > 1 ist, dann ist auch q n – m > 1 und q n = q m ·q n – m > q m . Die geometrische Folge k q n l ist somit für q > 1 streng monoton wachsend. Die geometrische Folge k q n l ist streng monoton wachsend, wenn q > 1 ist, streng monoton fallend, wenn 0 < q < 1 ist. Beispiele: Die Folge k  2    1 _ 2   3 n   l ist streng monoton fallend und die Folge k 2 n l ist streng monoton wachsend. Die Folge k 1 n l ist weder streng monoton fallend noch streng monoton wachsend. Die Folge k (‒ 2) n l ist weder streng monoton wachsend noch streng monoton fallend, sie „springt hin und her“. k  2    1 _ 2   3 n   l k 2 n l k 1 n l k (‒ 2) n l Eine Folge heißt alternierend, wenn die Vorzeichen von je zwei aufeinanderfolgenden Folgengliedern verschieden sind. Für q < 0 ist die geometrische Folge k q n l alternierend. 9 Gib eine streng monoton wachsende, eine streng monoton fallende und eine alternierende Folge an. 10 Untersuche, ob die durch das Anfangsglied a und den Quotienten q gegebene geometrische Folge streng monoton wachsend, streng monoton fallend oder alternierend ist. a. a = 2; q = 2 c. a = 1; q = ‒2 e. a = ‒27; q =   7 _ 8 g. a = 18; q = 1 b. a =   1 _ 2 ; q =   1 _ 2 d. a = ‒1; q = 2 f. a = 15; q =   8 _ 7 h. a =   7 _  18 ; q = ‒1 streng monoton wachsende Folge streng monoton fallende Folge Monotonie der geometrischen Folge n a n 0 -1 2 1 3 4 - 0,5 0,5 1 n a n 0 -1 2 1 3 4 - 4 4 8 n a n 0 -1 2 1 3 4 - 0,5 0,5 1 n a n 0 -1 2 1 3 4 -10 10 20 ggb e4ij4n alternierende Folge A C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv