Mathematik HTL 2, Schulbuch

99 3.3 Beschreiben von Wachstum mithilfe von Exponentialfunktionen Ich lerne Aufgaben zu Sachverhalten aus Technik, Naturwissenschaft und Wirtschaft, die mithilfe von Exponentialfunktionen beschrieben sind, zu lösen. Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme Für einen Vorgang im Alltag, in der Technik, Natur oder Wirtschaft exponentielles Wachstum oder exponentielle Abnahme anzunehmen bedeutet, diesen Vorgang mit einer Exponentialfunktion oder einem positiven Vielfachen davon zu beschreiben. Beschreibt man einen Vorgang durch eine Funktion f, dann spricht man  von exponentiellem Wachstum , wenn die Funktion f ein positives Vielfaches einer Exponentialfunktion ist, deren Basis > 1 ist,  von exponentieller Abnahme , wenn die Funktion f ein positives Vielfaches einer Exponentialfunktion ist, deren Basis < 1 ist. Hefepilze, die zum Beispiel zur Herstellung von verschiedenen Backwaren eingesetzt werden, verdoppeln unter günstigen Bedingungen alle 90 min ihr Gewicht. Wir beschreiben diesen Zusammenhang durch eine Funktion f von R nach R , die jedem Zeitpunkt (in min) die Masse der Hefepilze (in g) zuordnet. Wenn M die Masse der Hefepilze zur Zeit 0 ist, dann beträgt ihre Masse nach 0, 90, 180, 270, 360 …min f(0) = M, f(90) = 2M, f(2·90) = 2 2 M, f(3·90) = 2 3 M, f(4·90) = 2 4 M … Es liegt daher nahe, das Wachstum der Hefepilze durch die Funktion f: R ¥ R , t ¦ M·2 t _ 90 , also das M-Fache der Exponentialfunktion zur Basis 2 1 _ 90 , zu beschreiben. Wir sagen daher, dass die Masse der Hefepilze exponentiell wächst . 430 Vor dem Backen muss eine gewisse Gehzeit eingehalten werden, damit sich die Hefepilze vermehren können. Wir nehmen an, dass das Wachstum der Hefepilze durch die Funktion f: R ¥ R , t ¦ M·2 t _ 90 beschrieben wird. Das heißt, dass nach t Minuten die Masse der Hefepilze gleich M·2 t _ 90 g ist. a. Ermittle, welche Masse die Hefepilze bei einer Anfangsmasse von 42g und einer Gehzeit von 45min haben. b. Gib an, welche Masse diese Hefepilze nach 2 Tagen haben. Überlege, ob das Ergebnis sinnvoll ist. Was folgt daraus? a. Es ist f(45) = 42·2 45 _ 90 ≈ 59,4. Die Masse der Hefepilze nach 45min ist also ungefähr 59,4g. b. 2 Tage haben 2880 Minuten, also würde die Masse nach zwei Tagen f(2880) = 42·2 2880 _ 90 , also ca. 180400 Tonnen, betragen. Das widerspricht unserer Erfahrung. Unsere Annahme, dass die Masse von Hefepilzen exponentiell wächst, ist daher im Allgemeinen nicht sinnvoll. Für kleine Argumente liefert diese Annahme aber in der Praxis sinnvolle Ergebnisse. exponentielles Wachstum exponentielle Abnahme ggb nj5b4v B, C Berechnungen bei exponentiellem Wachstum mcd/tns wd3zs7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv