Mathematik HTL 2, Schulbuch

96 Exponential- und Logarithmusfunktionen Für den Graphen der Funktion log a : R + ¥ R , x ¦ log a (x) = lg(x) _ lg(a) erhalten wir {(z 1 log a (z)) ‡ z * R + } = { 2 z 1 lg(z) _ lg(a) 3 † z * R + } = { 2 10 y 1 y _ lg(a) 3 † y * R } . Auf einfachlogarithmischem Papier mit logarithmischer Skalierung der x-Achse entspricht das der Menge { 2 y 1 y _ lg(a) 3 † y * R } = { y· 2 1 1 1 _ lg(a) 3 † y * R } in der gewöhnlichen Skalierung, also wieder einer Geraden. Auf einfachlogarithmischen Papieren mit logarithmischer Skalierung der x-Achse erscheinen die Graphen von Logarithmusfunktionen als Geraden. Auf einem einfachlogarithmischen Papier mit logarithmischer Skalierung der y-Achse entspricht der Punkt mit den Koordinaten (a 1 b) nach logarithmischer Skalierung dem Punkt (a 1 lg(b)) nach gewöhnlicher Skalierung. Umgekehrt entspricht der Punkt (x 1 y) nach gewöhnlicher Skalierung dem Punkt (x 1 10 y ) nach neuer Skalierung. Auf einem einfachlogarithmischen Papier mit logarithmischer Skalierung der y-Achse erscheint der Graph {(z 1 10 z ) ‡ z * R } der Exponentialfunktion zur Basis 10 als die Menge {(z 1 z) ‡ z * R } nach gewöhnlicher Skalierung. gewöhnliche Skalierung: logarithmische Skalierung der y-Achse: Auf einfachlogarithmischen Papieren mit logarithmischer Skalierung der y-Achse erscheinen die Graphen von Exponentialfunktionen als Geraden Im Bild sind die Graphen der Exponentialfunktionen zur Basis e und zur Basis 10 und der Graph der Funktion f mit f(z) = 10 z _ 2 dargestellt. Für Potenzfunktionen eignet sich ein doppeltlogarithmisches Papier, das heißt, die x-Achse und die y-Achse sind nun loga- rithmisch skaliert. Denn: Der Graph der Potenzfunktion f mit f(z) = z n , eingeschränkt auf die Menge der positiven reellen Zahlen ist {(z 1 z n ) ‡ z * R + }. Weil z positiv ist, können wir z = 10 lg(z) schreiben und {(z 1 z n ) ‡ z * R + } = {(10 lg(z) 1 10 nlg(z) ) ‡ z * R + }. Auf doppeltlogarithmischem Papier entspricht das der Menge {(y 1 n·y) ‡ y * R } = {y·(1 1 n) ‡ y * R } in der gewöhnlichen Skalierung, das ist wieder eine Gerade. Auf doppeltlogarithmischen Papieren erscheinen die Graphen von Potenzfunktionen, eingeschränkt auf die Menge der positiven Zahlen, als Geraden. Graphen auf Logarithmus- papieren y 0 x - 2 2 4 6 2 4 6 8 10 - 4 - 6 lg 0,1 1 10 0 1 -1 lg Graphen auf Logarithmus- papieren 0 1 -1 0,1 0,5 1,0 5,0 10,0 10 x 10 x/2 e x Graphen auf Logarithmus- papieren Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv