Mathematik HTL 2, Schulbuch

95 3.2 Logarithmen und Logarithmusfunktionen 416 Zeichne händisch ein einfachlogarithmisches Papier (logarithmische Skalierung der x-Achse). Gehe dazu wie folgt vor: a. Erstelle eine Tabelle für die Zahlen z von 1 bis 10 und berechne jeweils lg(z). b. Trage lg(z) auf die x-Achse auf und beschrifte sie mit z, für z von 1 bis 10. c. Skaliere die y-Achse auf gewohnte Weise. d. Zeichne nun entsprechend der Skalierung Hilfslinien auf beiden Achsen. e. Zeichne die Punkte (3 1 4) und (7 1 1) in das Papier ein. 417 Auf den logarithmischen Papieren ist dir sicher schon aufgefallen, dass sich die Beschriftung 1, 2, 3, …, 10 immer wiederholt und nicht, wie zum Beispiel in Aufgabe 414 mit 20, 30, …, 100 fortgesetzt werden. Überlege, welche Gründe es dafür geben könnte. Begründe. Argumentiere, welche Vorteile diese Vorgehensweise hat. 418 Zeige, dass der Abstand lg(20) – lg(10) gleich groß ist wie der Abstand lg(2) – lg(1). a. Berechne dazu beide Differenzen mit dem Taschenrechner. b. Verwende für die Berechnung keine technischen Hilfsmittel, sondern wende die Rechenregeln für Logarithmen an. Funktionsgraphen auf Logarithmuspapieren Jede positive Zahl z können wir als 10 lg(z) schreiben. Der Graph {(z 1 lg(z)) ‡ z * R + } der Logarithmusfunktion zur Basis 10 ist daher die Menge {(10 lg(z) 1 lg(10 lg(z) )) ‡ z * R + } = {(10 lg(z) 1 lg(z)) ‡ z * R + } = {(10 y 1 y) ‡ y * R }. Auf einfachlogarithmischem Papier mit logarithmischer Skalierung der x-Achse entspricht das der Menge {(y 1 y) ‡ y * R } = {y·(1 1 1) ‡ y * R } in der gewöhnlichen Skalierung. Das ist eine Gerade. In den folgenden zwei Bildern sehen wir den Graphen der Logarithmusfunktion lg: R + ¥ R , x ¦ lg(x) in einem Koordinatensystem mit gewöhnlicher und mit logarithmischer Skalierung der x-Achse. gewöhnliche Skalierung: logarithmische Skalierung der x-Achse: Für den Graphen der Logarithmusfunktion ln: R + ¥ R , x ¦ ln(x) erhalten wir {(z 1 ln(z)) ‡ z * R + } = (z 1 ln(10 lg(z) )) ‡ z * R + } = = {(z 1 lg(z)·ln(10)) ‡ z * R + } = = {(z 1 ln(10)lg(z)) ‡ z * R + } = = {(10 y 1 ln(10)y) ‡ y * R }. Auf einfachlogarithmischem Papier mit logarithmischer Skalierung der x-Achse entspricht das der Menge {(y 1 ln(10)y) ‡ y * R } = {y·(1 1 ln(10)) ‡ y * R } in der gewöhnlichen Skalierung. Das ist auch eine Gerade. B C, D D ggb w4g7cn y 0 x - 2 2 4 8 lg 10 6 2 4 6 - 2 - 4 0,1 0,5 1 5 10 0 3 1 2 - 3 - 2 -1 lg 0,1 0,5 1 5 10 0 3 1 2 - 3 - 2 -1 ln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv