Mathematik HTL 2, Schulbuch

91 3.2 Logarithmen und Logarithmusfunktionen Bevor man Taschenrechner und Computer zum Rechnen zur Verfügung hatte, nützte man diese Eigenschaften, um Rechnungen zu vereinfachen. Dazu gab es Wertetabellen für die Logarithmus- funktionen lg und ln. Anstatt 345,678·987,654 zu berechnen, las man dort lg(345,678) und lg(987,654) ab, addierte diese Zahlen und hatte damit lg(345,678·987,654). Nun las man wieder aus der Wertetabelle ab, von welcher Zahl z das der Logarithmus war. Dann hatte man das Produkt z = 345,678·987,654 berechnet, aber nicht multipliziert, sondern nur addiert. Man konnte so die Rechenoperationen Multiplikation, Division und Potenzieren auf die einfacheren Rechenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation sowie auf ein zweimaliges Nachschlagen in der „Logarithmentafel“ zurückführen. Besonders im Bereich der Technik war zum schnellen Rechnen der „Rechenschieber“, der auch die Eigenschaften der Logarithmusfunk- tionen nutzte, sehr weit verbreitet. 397 Schreibe die Summe von Logarithmen 4ln(a) + 3ln(2b) – 2ln(3c) als Logarithmus einer einzigen Zahl. Dabei sind a, b und c positive reelle Zahlen. Wir verwenden, dass Logarithmen eine Potenz in ein Produkt überführen und schreiben 4 ln(a) + 3 ln(2b) – 2ln(3c) = ln(a 4 ) + ln((2b) 3 ) – ln((3c) 2 ). Weil Logarithmen ein Produkt in eine Summe und einen Quotienten in eine Differenz überführen, ist ln(a 4 ) + ln((2b) 3 ) – ln((3c) 2 ) = ln(a 4 (2b) 3 ) – ln((3c) 2 ) = ln 2 a 4 (2b) 3 _ (3c) 2 3 . Zusammenfassend erhalten wir 4ln(a) + 3ln(2b) – 2ln(3c) = ln 2 8a 4 b 3 _ 9c 2 3 . Wenn man die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion zur Basis e oder 10 kennt, kann man daraus leicht die Funktionswerte der Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion bezüglich einer anderen Basis a > 0 mit a ≠ 1 berechnen. Es ist a = e ln(a) und a = 10 lg(a) , also ist a x = e x·ln(a) und a x = 10 x·lg(a) . Aus x = a log a (x) folgt ln(x) = ln 2 a log a (x) 3 = log a (x)·ln(a) und lg(x) = lg 2 a log a (x) 3 = log a (x)·lg(a), also ist log a (x) = ln(x) _ ln(a) und log a (x) = lg(x) _ lg(a) . Für alle Zahlen x gilt daher: log a (x) = 1 _ ln(a) ·ln(x) 398 Forme nach dem folgenden Muster um: lg 2 a 2 _ b 3 · 9 _ c 3 = 2lg(a) – 3lg(b) + 1 _ 2 ·lg(c). Dabei sind a, b, c, d, x, y, z, w positive reelle Zahlen. a. lg 2 x 2 ·y _ z 3 3 c. log 2 2 3 9 _ 4·8 _ 16 3 e. lg 2 x 4 ·y 3 _ (z + w) 3 3 g. lg 2 3 9 __ x 2 · 9 _ x _ 3 9 _ x 3 b. lg 2 a 3 _ b 2 ·c 3 d. lg 2 a 3 ·b 2 _ (c + d) 4 3 f. lg 2 a 7 ·b 3 _ 9 ___ c +d 3 h. lg 2 9 __ a 3 · 4 9 _ a _ 4 9 __ a 3 3 ggb v85wf6 B mit Logarithmen rechnen Basiswech- sel von Logarithmen B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv