Mathematik HTL 2, Schulbuch

90 Exponential- und Logarithmusfunktionen Beispiel: Weil 3,1415 < π < 3,1416 und lg = log 10 streng monoton wachsend ist, folgt dass lg(3,1415) < lg( π ) < lg(3,1416) ist. Wir können den Graphen der Logarithmusfunktion zur Basis a zeichnen, indem wir den Graphen der Exponentialfunktion zur Basis a an der 1. Mediane spiegeln. 395 Berechne ohne technische Hilfsmittel und führe die Zwischenergebnisse ausführlich an. a. log 2 (64) b. log 4 2 3 9 __ 16 3 a. Gesucht ist jene Zahl x, mit der die Basis 2 potenziert werden muss, um 64 zu erhalten. Es soll also 2 x = 64 sein. Wir wissen, dass 64 = 2 6 ist. Somit ist die gesuchte Zahl x = 6 und es ist log 2 (64) = 6. b. Gesucht ist jene Zahl y, mit der die Basis 4 potenziert werden muss, um 3 9 __ 16 zu erhalten. Es soll also 4 y = 3 9 __ 16 sein. Wir können 3 9 __ 16 weiter umformen: 3 9 __ 16 = 16 1 _ 3 = (4 2 ) 1 _ 3 = 4 2 _ 3 Die gesuchte Zahl ist y = 2 _ 3 und es ist log 4 2 3 9 __ 16 3 = 2 _ 3 . 396 Berechne ohne technische Hilfsmittel. Führe die Zwischenergebnisse ausführlich an. a. log 5 (1) e. log 37 (1) i. log 2 2 1 _ 64 3 m. log 2 (32) b. log 7 2 1 _ 49 3 f. log 9 (81) j. log 3 2 1 _ 27 3 n. log 2 ( 3 9 _ 4) c. log 8 (64) g. log 2 (256) k. log 2 2 1 _ 32 3 o. log 3 ( 4 9 _ 9) d. log 27 (1) h. log 3 (243) l. log 3 2 1 _ 81 3 p. log 2 ( 2 9 _ 8) Eigenschaften von Logarithmusfunktionen Aus den Eigenschaften der Exponentialfunktionen folgt für ihre Umkehrfunktionen: Für alle positiven Zahlen x und y gilt: log a (x·y) = log a (x) + log a (y) Logarithmusfunktionen führen ein Produkt in eine Summe über. log a 2 x _ y 3 = log a (x) – log a (y) Logarithmusfunktionen führen einen Quotienten in eine Differenz über. log a (x y ) = y·log a (x) Logarithmusfunktionen führen eine Potenz in ein Produkt über. y x 0 - 2 -1 1 2 3 4 - 2 1 2 4 3 -1 exp ln y x 0 - 2 -1 1 2 3 4 - 2 1 2 4 3 -1 exp 10 log 2 lg exp 2 B Logarithmen berechnen B, C Eigenschaften von Logarithmus- funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv