Mathematik HTL 2, Schulbuch

9 1.1 Wiederholung Die Darstellung von Graph(f) in einem Koordinatensystem verschafft uns einen (ungefähren) Überblick über die Funktion f:  Wir können (näherungsweise) den Funktionswert an einer bestimmten Stelle ablesen. Beispielsweise lesen wir ab: f(0,5) ≈ ‒ 2,5  Wir können umgekehrt aber auch (näherungsweise) ablesen, welches Argument zu einem bekannten Funktionswert gehört. Beispielsweise lesen wir ab, dass der Funktionswert 4 dem Argument z ≈ 2,7 zugeordnet ist. Um die genauen Zahlen zu erhalten, rechnen wir:  Für 0,5 berechnen wir f(0,5) = 3·0,5 – 4 = ‒ 2,5.  Der Funktionswert von z ist genau dann 4, wenn 4 = f(z) = 3·z – 4 ist. Also muss 4 = 3z – 4 sein und wir berechnen: z = 8 _ 3 Nullstellen einer Funktion f sind Zahlen z mit f(z) = 0 . Für die Funktion f: R ¥ R , z ¦ 3z – 4 lesen wir aus der Zeichnung ab, dass es genau eine Nullstelle gibt und dass diese nahe bei 1,3 liegt. Durch Rechnung erhalten wir: 0 = 3z – 4 | + 4 4 = 3z | : 3 z = 4 _ 3 Lineare Funktionen g: R ¥ R , z ¦ k·z + d mit Änderungsrate (Steigung) k und Ordinatenabschnitt d sind Polynomfunktionen mit Grad 1 (wenn k ≠ 0 ist) oder mit Grad 0 (wenn k = 0 und d ≠ 0 ist) oder die Nullfunktion (wenn k = 0 und d = 0 ist). Den Graphen von linearen Funktionen können wir schon ganz gut zeichnen. Wenn wir aber zu Polynomfunktionen mit Grad 2 übergehen, fehlen uns noch Informationen: Die Funktion b: R ¥ R , z ¦ 1 _ 2 z 2 + z – 4 ist eine Polynomfunktion mit Grad 2 und Leitkoeffizient 1 _ 2 . Weil wir die Zuordnungsvorschrift kennen, können wir zu jedem gegebenen Argument z den Funktionswert b(z) = 1 _ 2 z 2 + z – 4 berechnen. Wählen wir beispielsweise ‒ 1 _ 2 als Argument, so erhalten wir: b 2 ‒ 1 _ 2 3 = 1 _ 2 · 2 ‒ 1 _ 2 3 2 + 2 ‒ 1 _ 2 3 – 4 = 1 _ 2 · 1 _ 4 – 1 _ 2 – 4 = 1 _ 8 – 4 _ 8 – 32 _ 8 = ‒ 35 _ 8 Wir können auch eine Wertetabelle berechnen und die berechneten Zahlenpaare in einem Koordinatensystem einzeichnen. Wir wissen aber noch nicht, wie wir die eingezeichneten Punkte verbinden sollen, und können einstweilen vom Graphen von b nur einige Elemente darstellen. Wir können beispielsweise nur vermuten, dass die Funktion b zwei Nullstellen besitzt, von denen eine im Intervall (‒ 5; ‒ 3) und die andere im Intervall (1; 3) liegt. x y 0 - 4 - 3 - 2 -1 2 3 4 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 (2 1 2) (0 1 - 4) Ň Ň Nullstelle x y 0 - 4 - 3 - 2 -1 3 4 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 (2 1 2) (0 1 - 4) Ň lineare Funktionen ggb ft4z3y z b(z) ‒ 5 7 _ 2 ‒ 3 ‒ 5 _ 2 0 ‒ 4 1 ‒ 5 _ 2 3 7 _ 2 Nur zu rüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv