Mathematik HTL 2, Schulbuch

89 3.2 Logarithmen und Logarithmusfunktionen Ich lerne die Rechenregeln für Logarithmen anzuwenden. Ich lerne Darstellungen in Diagrammen mit logarithmischen Skalen korrekt zu interpretieren. Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion In Abschnitt 3.1 haben wir den Zerfall von Cäsium durch die Funktion f: R ¥ R , t ¦ 2 1 _ 2 3 t beschrieben (der Definitionsbereich war zunächst Q , später haben wir ihn auf R erweitert). Dabei war f(t) die Masse in Gramm des nach der t-fachen Halbwertszeit von ursprünglich 1 g noch vorhandenen Cäsium. Wir konnten damit für jeden Zeitpunkt s berechnen, wie viel Gramm Cäsium vorhanden sind, nämlich f 2 s _ 30 3 Gramm. Möchten wir umgekehrt wissen, wie lange es dauert, bis von 1 g Cäsium (zur Zeit 0) nur noch 0,2g Cäsium vorhanden sind, dann müssen wir eine Zahl s so finden, dass f 2 s _ 30 3 = 0,2 ist. Wenn f eine Umkehrfunktion f ‒1 hat, dann ist s _ 30 einfach f ‒1 (0,2). Haben Exponentialfunktionen immer eine Umkehrfunktion? Man kann zeigen, dass das Bild einer Exponentialfunktion die positive Halbgerade R + ist. Wir wissen, dass jede Exponentialfunktion, deren Basis nicht 1 ist, streng monoton wachsend oder fallend ist. Daraus folgt: Für jede positive reelle Zahl a ≠ 1 hat die Exponentialfunktion exp a : R ¥ R + , x ¦ a x , eine Umkehrfunktion. Wir nennen sie den Logarithmus oder die Logarithmusfunktion zur Basis a und bezeichnen sie mit log a : R + ¥ R , a x ¦ x . Die Zahl log a (t) nennen wir den Logarithmus von t zur Basis a . Beachte, dass das Argument t eine positive Zahl sein muss. Für alle Zahlen x ist log a (a x ) = x und für alle positiven Zahlen t ist a log a (t) = t . Das Bild der Logarithmusfunktion zur Basis a ist R . Für alle a ist log a (1) = 0, log a (a) = 1 und log a 2 1 _ a 3 = ‒1 . Der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus , statt log e schreiben wir einfach ln ( l ogarithmus n aturalis). Für den Logarithmus zur Basis 10 schreiben wir statt log 10 einfach lg ( l ogarithmus g eneralis). Tipp Einige Taschenrechner verwenden statt lg die Bezeichnung log. Als Umkehrfunktion einer streng monoton wachsenden bzw. streng monoton fallenden Funktion ist log a : R + ¥ R , a x ¦ x streng monoton wachsend, wenn a > 1 ist und streng monoton fallend, wenn a < 1 ist. Wenn eine reelle Zahl z im Intervall [s; t] liegt, dann liegt log a (z) zwischen log a (s) und log a (t). ggb av88pd Logarithmus- funktion zur Basis a Logarithmus zur Basis a natürlicher Logarithmus Logarithmus zur Basis 10 Monotonie der Logarithmus- funktion Näherung von log a (z) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv