Mathematik HTL 2, Schulbuch

85 3.1 Exponentialfunktionen 370 Zeichne mithilfe einer Wertetabelle den Graphen der Funktion f: R ¥ R , x ¦ e x über dem Intervall [‒ 3; 3]. Skizziere nun ohne technische Hilfsmittel oder Wertetabelle die Graphen der gegebenen Funktion über demselben Intervall. a. g mit g(x) = e ‒x b. h mit h(x) = e x + 3 c. i mit i(x) = e x – 2 d. k mit k(x) = 1 _ 2 e x 371 Ordne jeder Funktion f den passenden Graphen der Funktion zu. a. f(x) = 2 x b. f(x) = 3 x c. f(x) = 2 1 _ 2 3 x d. f(x) = 2 1 _ 3 3 x A B C D 372 Für die Exponentialfunktion exp a : R ¦ R , t ¦ a t haben wir vorausgesetzt, dass a > 0 sein soll. Untersuche, zu welchen Problemen es kommt, wenn man versucht, eine Funktion f mit f(x) = (‒2) x zu definieren. Gib mindestens zwei Zahlen x an, für die (‒ 2) x nicht definiert ist. Stelle eine Vermutung auf, für welche rationalen Zahlen x die Funktion f nicht definiert ist. Eigenschaften von Exponentialfunktionen Mit a bezeichnen wir eine positive reelle Zahl und mit exp a die Exponentialfunktion mit exp a (t) = a t . Für alle Zahlen x und y gilt: exp a (x + y) = exp a (x)·exp a (y) also: a x + y = a x ·a y Exponentialfunktionen führen eine Summe in ein Produkt über. exp a (x – y) = exp a (x) _ exp a (y) also: a x – y = a x _ a y Exponentialfunktionen führen eine Differenz in einen Quotienten über. exp a (x·y) = exp a (x) y = exp a (y) x also: a x·y = (a x ) y = (a y ) x Exponentialfunktionen führen ein Produkt in eine Potenz über. Insbesondere gilt: exp a (x + 1) = exp a (x)·exp a (1) = a·exp a (x) also: a x + 1 = a x ·a 1 = a·a x Erhöht man das Argument der Exponential- funktion zur Basis a um 1, so ist der neue Funktionswert das a-Fache des ursprünglichen Funktionswertes. 373 Mit a bezeichnen wir eine positive reelle Zahl, mit x, y und z reelle Zahlen. Berechne eine reelle Zahl u so, dass (a x ) 3 ·a y ·a 5 __ (a z ) ‒4 ·a ‒ 1 _ 2 = a u ist. Manchmal sagen wir dafür kurz „fasse zusammen“. (a x ) 3 ·a y ·a 5 __ (a z ) ‒4 ·a ‒ 1 _ 2 = | Potenzen in Produkte überführen = a 3x ·a y ·a 5 __ a ‒4z ·a ‒ 1 _ 2 = | Produkte in Summen überführen = a 3x + y + 5 __ a ‒4z‒ 1 _ 2 = | Quotient in Differenz überführen = a 3x + y + 5 – 2 ‒4z – 1 _ 2 3 = | Klammer auflösen = a 3x + y + 4z + 11 _ 2 Die gesuchte Zahl u ist also 3x + y + 4z + 11 _ 2 . B A, C y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 4 y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 4 y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 4 y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 4 C, D Eigenschaften von Exponential- funktionen B mit Exponential- funktionen rechnen mcd 2c2mm6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv