Mathematik HTL 2, Schulbuch

83 3.1 Exponentialfunktionen Mit f bezeichnen wir die Funktion Q ¥ R mit f(t) = a t , wobei a eine positive reelle Zahl ist. Alle Funktionswerte von f sind positiv. Es ist f(0) = a 0 = 1, f(1) = a 1 = a und f(‒1) = a ‒1 = 1 _ a . Für a > 1 gilt: Ist t > 0, dann ist f(t) = a t > 1 . Zum Beispiel ist 3 1 _ 2 = 9 _ 3 > 1. Ist t < 0, dann ist f(t) = a t < 1 . Zum Beispiel ist 3 ‒1 = 1 _ 3 < 1. Für 0 < a < 1 gilt: Ist t > 0, dann ist f(t) = a t < 1 . Zum Beispiel ist 2 1 _ 2 3 3 = 1 _ 8 < 1. Ist t < 0, dann ist f(t) = a t > 1 . Zum Beispiel ist 2 1 _ 2 3 ‒1 = 2 > 1. Ist a = 1, dann ist f die konstante Funktion 1. Sie ordnet jeder rationalen Zahl t die Zahl 1 t = 1 zu. Es ist a t = a s + (t – s) = a s a t – s . Wenn s < t ist, ist t – s > 0, also f(s) = a s < a t = f(t), wenn a > 1 ist und f(s) = a s > a t = f(t), wenn a < 1 ist. Also gilt: Die Funktion f mit f(t) = a t ist streng monoton wachsend, wenn a > 1 ist und streng monoton fallend, wenn 0 < a < 1 ist. Man kann zeigen (wir tun das hier nicht), dass man f: Q ¥ R auf genau eine Weise zu einer streng monoton wachsenden bzw. fallenden Funktion von R nach R erweitern kann. Wir nennen diese Funktion Exponentialfunktion zur Basis a (dabei ist a eine positive reelle Zahl) und schreiben dafür exp a : R ¥ R , t ¦ a t . Für beliebige reelle Zahlen t ist also exp a (t) = a t . Können wir die Zahl a t berechnen, wenn t keine rationale Zahl ist? Was ist zum Beispiel 10 π oder 2 1 _ 2 3 π ? Ebenso wenig wie wir π selbst durch Ziffern genau darstellen können, können wir das für 10 π tun. Aber wir wissen: Weil 3,1415 < π < 3,1416 und die Exponentialfunktion zur Basis 10 streng monoton wachsend ist folgt, dass 10 3,1415 < 10 π < 10 3,1416 ist. Die Exponentialfunktion zur Basis 1 _ 2 ist streng monoton fallend, daher ist 2 1 _ 2 3 3,1415 > 2 1 _ 2 3 π > 2 1 _ 2 3 3,1416 . Wenn eine reelle Zahl z zwischen s und t liegt, dann liegt a z zwischen a s und a t . Die Eulersche Zahl e ist eine bestimmte nicht-rationale Zahl zwischen 2,718 und 2,719. Sie kommt häufig als Basis von Exponentialfunktionen vor. Eigenschaften der Funktion t ¦ a t Monotonie der Funktion t ¦ a t y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 1 2 4 3 -1 exp 1/2 exp 2 Exponential- funktion zur Basis a Näherung für a z Eulersche Zahl Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv