Mathematik HTL 2, Schulbuch

82 3.1 Exponentialfunktionen Ich lerne Exponentialfunktionen kennen und Rechenregeln dafür anzuwenden. Ich lerne Aussagen über die Gestalt des Graphen einer Exponentialfunktion zu machen und umgekehrt aus dem Graphen einer Exponentialfunktion ihre Eigenschaften abzulesen. Ein Beispiel Die Halbwertszeit τ eines radioaktiven Elements ist die Zeit, nach der die Hälfte des ursprünglich vorhandenen Materials zerfallen ist. Cäsium 137 Cs hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren. Von einem Gramm (1 g) Cäsium ist also nach 30 Jahren nur noch 1 _ 2 g vorhanden. Nach 60 Jahren, weitere 30 Jahre später, ist von diesem 1 _ 2 g eben- falls nur noch die Hälfte, also 1 _ 2 · 1 _ 2 g = 2 1 _ 2 3 2 g = 1 _ 4 g erhalten. Nach 3·30 = 90 Jahren sind es 2 1 _ 2 3 3 g = 1 _ 8 g, und nach t-mal 30 Jahren sind es noch 2 1 _ 2 3 t g. Ist dieser Zusammenhang auch richtig, wenn t kein Vielfaches von 30 ist? Wie viel ist nach Ablauf der halben Halbwertszeit, also nach 15 Jahren noch von 1 g Cäsium vorhanden? Wenn nach 15 Jahren noch c·1 g vorhanden sind, sind nach Ablauf von weiteren 15 Jahren nur noch c·c·1 g = c 2 ·1 g vorhanden. Weil zwei mal 15 Jahre die Halbwertszeit ist, muss c 2 = 1 _ 2 , also c = 9 _ 1 _ 2 = 2 1 _ 2 3 1 _ 2 sein. Auf gleiche Weise erhalten wir: Für jede rationale Zahl t sind von 1 g Cäsium nach Ablauf von t·30 Jahren noch 2 1 _ 2 3 t g übrig. Wenn t negativ ist, formulieren wir das einfacher als „vor † t † Jahren waren 2 1 _ 2 3 t g = 2 ‒t g vorhanden“. Die Funktion, die jeder rationalen Zahl t die Masse in Gramm des nach der t-fachen Halbwerts- zeit von ursprünglich 1 g noch vorhandenen Cäsiums zuordnet, ist also Q ¥ R , t ¦ 2 1 _ 2 3 t . Wir beschreiben mit dieser Funktion den Zerfallsprozess von Cäsium. Exponentialfunktionen Statt 1 _ 2 wie im Beispiel können wir irgendeine positive reelle Zahl a wählen und erhalten dazu die Funktion f: Q ¥ R , t ¦ a t die jeder rationalen Zahl t die Potenz a t zuordnet. Achtung Diese Funktion ist keine Potenzfunktion! Sie darf nicht mit der Funktion g: Q ¥ R , t ¦ t a verwechselt werden. Wir überlegen uns einige Eigenschaften dieser Funktion, dazu verwenden wir, was wir über rationale Potenzen von positiven Zahlen wissen. ggb 6gw676 Halbwertszeit Zeit in Jahren Masse von Cäsium in g 0 1 τ = 30 1 _ 2 2 τ = 60 1 _ 4 = 2 1 _ 2 3 2 3 τ = 90 1 _ 8 = 2 1 _ 2 3 3 1 _ 2 τ = 15 2 1 _ 2 3 1 _ 2 t· τ = t·30 2 1 _ 2 3 t t 2 1 _ 2 3 t _ 30 ggb 92m2vh Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv