Mathematik HTL 2, Schulbuch

76 Zusammenfassung: Potenz- und Wurzelfunktionen Das Bild einer Funktion f mit Definitionsbereich M ist die Menge Bild(f) = {f(m) ‡ m ist Element des Definitionsbereichs}. Eine Funktion heißt umkehrbar , wenn jedes Element aus Bild(f) der Funktionswert von nur einem Element aus M ist. Die Umkehrfunktion zu f ist dann die Funktion f ‒1 , die jedem Element n aus Bild(f) dasjenige Element m aus M zuordnet, für das n = f(m) ist. Den Graphen von f ‒1 erhalten wir einfach aus dem Graphen von f, indem wir in Graph(f) die Komponenten der Paare vertauschen. Für umkehrbare Funktionen f von R nach R bedeutet das, dass wir den Graphen von f ‒1 erhalten, indem wir den von f um die 1. Mediane spiegeln. Für positive ganze Zahlen n ist die Einschränkung auf R + der n-ten Potenzfunktion f: R + ¥ R + , z ¦ z n , umkehrbar, ihre Umkehrfunktion ist f ‒1 : R + ¥ R + , z ¦ n 9 _ z, die n-te Wurzelfunktion . Die Zahl n heißt Wurzelexponent dieser Funktion. Dabei ist n 9 _ z die n-te Wurzel von z, also jene positive reelle Zahl, deren n-te Potenz gleich z ist. Der Graph jeder Wurzelfunktion enthält die Punkte (0 1 0) und (1 1 1). Wurzelfunktionen sind auf R 0 + streng monoton wachsend und konkav. Die Graphen von Wurzelfunktionen sehen so aus: Eine Wurzelgleichung ist eine Aufgabe der Art „Finde alle reellen Zahlen z so, dass 9 ____ 2z + 5 – 2 9 ___ z – 1 = ‒1 ist und dass alle Zahlen unter einer Wurzel nicht negativ sind“. Um Wurzelgleichungen zu lösen, gehen wir so vor: Wir vereinfachen die Gleichung und quadrieren sie (eventuell mehrfach), bis wir eine Gleichung ohne Wurzeln haben. Wenn wir deren Lösungen bestimmen können, müssen wir noch bei jeder dieser Lösungen nachprüfen, ob sie auch eine Lösung der Wurzelgleichung ist. Bild Umkehr- funktion n-te Wurzelfunktion x 1 y 0 1 (1 1 1) ń[ 3 ń[ 4 ń[ Eigenschaften von Wurzel- funktionen Wurzel- gleichung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv