Mathematik HTL 2, Schulbuch

75 Zusammenfassung Für natürliche Zahlen n nennen wir die Funktionen R ¥ R , z ¦ z n und R \{0} ¥ R , z ¦ z ‒n Potenzfunktionen . Die Zahl n bzw. ‒n heißt der Grad oder Exponent der Potenzfunktion. Für alle ganzen Zahlen m, n gilt: Für alle Zahlen x ist x n ·x m = x n + m , also ist das Produkt der n-ten mit der m-ten Potenzfunktion ist die (n + m)-te Potenzfunktion. Für alle Zahlen x ist x n _ x m = x n – m , also ist der Quotient der n-ten und der m-ten Potenzfunktion ist die (n-m)-te Potenzfunktion. Für alle Zahlen x ist (x m ) n = x m·n , also ist die n-te Potenz der m-ten Potenzfunktion die (m·n)-te Potenzfunktion. Für eine Funktion f von einer Teilmenge von R nach R bezeichnen wir mit D eine Teilmenge des Definitionsbereichs von f, die ein Intervall oder eine Halbgerade oder die ganze Zahlen- gerade ist. Die Funktion f heißt auf D konvex bzw. konkav , wenn für alle a, b * D mit a < b und für alle c * [0; 1] gilt: f(a + c(b – a)) ª f(a) + c(f(b) – f(a)) bzw. f(a + c(b – a)) º f(a) + c(f(b) – f(a)) Der Graph jeder Potenzfunktion enthält den Punkt (1 1 1). Wenn der Exponent n der Potenz- funktion positiv ist, ist auch (0 1 0) ein Element ihres Graphen. positiver Exponent negativer Exponent R – R + R – \{0} R + \{0} gerader Exponent streng monoton fallend streng monoton wachsend streng monoton wachsend streng monoton fallend konvex konvex konvex ungerader Exponent streng monoton wachsend streng monoton fallend streng monoton fallend konkav konvex konkav konvex Die Graphen der Potenzfunktionen sehen also so aus: Exponent posititiv und gerade: Exponent negativ und gerade: Exponent positiv und ungerade: Exponent negativ und ungerade: Potenz- funktionen Rechenregeln Konvexe und konkave Funktionen Eigenschaften von Potenz- funktionen x y 0 - 2 2 1 -1 - 2 -1 1 2 x 2 x 4 x y 0 - 2 2 1 -1 - 2 -1 1 2 x -2 x -4 x y 0 - 2 2 1 -1 - 2 -1 1 2 x 3 x 5 x y 0 - 2 2 1 -1 - 2 -1 1 2 x -3 x -1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv