Mathematik HTL 2, Schulbuch

72 Potenz- und Wurzelfunktionen Wurzelgleichungen Eine Aufgabe der Art „Finde alle reellen Zahlen z so, dass 9 ____ 2z + 5 – 2 9 ___ z – 1 = ‒1 ist und dass alle Zahlen unter einer Wurzel nicht negativ sind“ heißt Wurzelgleichung . Auch hier sagt man oft kurz: „Löse die Wurzelgleichung 9 ____ 2z + 5 – 2 9 ___ z – 1 = ‒1“. Die Menge aller Zahlen z, für die die Zahlen unter den Wurzeln nicht negativ sind, heißt Definitionsmenge der Wurzelgleichung. 319 Löse die Wurzelgleichung 9 ____ 2z + 5 – 2 9 ___ z – 1 = ‒1. Damit die Zahlen unter den Wurzeln nicht negativ sind, muss 2z + 5 º 0 und z – 1 º 0 sein, also z º 1 sein. 9 ____ 2z + 5 – 2 9 ___ z – 1 = ‒1 | + 2 9 ___ z – 1, damit auf jeder Seite nur eine Wurzel ist 9 ____ 2z + 5 = 2 9 ___ z – 1 – 1 | quadrieren 2z + 5 = 4(z – 1) – 4 9 ___ z – 1 + 1 | ausmultiplizieren 2z + 5 = 4z – 4 – 4 9 ___ z – 1 + 1 | ‒4z + 3 ‒2z + 8 = ‒4 9 ___ z – 1 | quadrieren 4z 2 – 32z + 64 = 16(z – 1) | ausmultiplizieren 4z 2 – 32z + 64 = 16z – 16 | ‒16z + 16 4z 2 – 48z + 80 = 0 | : 4 z 2 – 12z + 20 = 0 Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind die Zahlen 10 und 2. Vorsicht! Obwohl beide Lösungen º 1 sind, sind nicht beide Lösungen der Wurzelgleichung. Wenn wir 9 ____ 2·2 + 5 – 2 9 ___ 2 ‒1 berechnen, erhalten wir 1. Die Zahl 2 ist also nicht Lösung unserer Wurzelgleichung. Wenn wir 9 _____ 2·10 + 5 – 2 9 ___ 10 ‒1 berechnen, erhalten wir ‒1. Die Zahl 10 ist also eine Lösung unserer Wurzelgleichung, und zwar die einzige. Warum ist 2 keine Lösung der Wurzelgleichung, obwohl 2 eine Lösung der quadratischen Gleichung war, die wir durch Umformungen erhalten haben? Wir haben zweimal beide Seiten der Gleichung quadriert. Alle Zahlen, die Lösungen der Gleichung vor dem Quadrieren sind, bleiben Lösungen. Aber es können auch neue dazukommen. Betrachten wir dazu das einfache Beispiel: Die Gleichung z = ‒1 hat nur eine Lösung, nämlich ‒1. Die Gleichung z 2 = (‒1) 2 hingegen hat 2 Lösungen, ‒1 und 1. Wir hätten diese Wurzelgleichung auch näherungsweise graphisch lösen können: Wir betrachten dazu die Funktionen f und g mit f(z) = 9 ____ 2z + 5 und g(z) = 2 9 ___ z – 1 – 1. Diese Graphen können wir zeichnen (müssen aber zuvor die Definitionsbereiche der zwei Funktionen bestimmen). Eine Zahl z im Durchschnitt der zwei Definitionsbereiche ist genau dann eine Lösung der Wurzel- gleichung, wenn f(z) = g(z) ist. Das ist aber genau dann der Fall, wenn der Punkt (z 1 f(z)) = (z 1 g(z)) ein Schnittpunkt der Graphen von f und von g ist. Tipp Um Wurzelgleichungen zu lösen, gehen wir so vor:  Wir vereinfachen die Gleichung und quadrieren sie (eventuell mehrfach), bis wir eine Gleichung ohne Wurzeln haben.  Nachdem wir die Lösungen der wurzelfreien Gleichung bestimmt haben, müssen wir noch für jede dieser Lösungen nachprüfen, ob sie auch eine Lösung der Wurzelgleichung ist. Wurzel- gleichung B eine Wurzelgleichung lösen ggb va3ui6 y x 0 2 4 6 2 8 10 2 4 6 - 2 kein Schnittpunkt bei x = 2! f g Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv