Mathematik HTL 2, Schulbuch

69 2.3 Wurzelfunktionen Die n-ten Wurzelfunktionen sind (als Umkehrfunktionen der n-ten Potenzfunktionen) also für alle positiven ganzen Zahlen streng monoton wachsend. Warum sind sie konkav? Auch das können wir uns allgemein überlegen: Wenn eine Funktion f von einer Teilmenge von R nach R streng monoton wachsend und konvex ist, dann ist ihre Umkehrfunktion f ‒1 konkav. Wir müssen nun zeigen, dass für alle Intervalle [u; v] im Definitionsbereich von f ‒1 und für alle Zahlen c zwischen 0 und 1 gilt: f ‒1 (u + c(v – u)) º f ‒1 (u) + c(f ‒1 (v) – f ‒1 (u)) Weil u und v im Bild von f sind, gibt es Zahlen a und b so, dass f(a) = u und f(b) = v ist. Wir müssen also zeigen, dass f ‒1 (f(a) + c(f(b) – f(a))) º f ‒1 (f(a)) + c(f ‒1 (f(b)) – f ‒1 (f(a))) = = a + c(b – a) ist. Weil f konvex ist, ist f(a + c(b – a)) ª f(a) + c(f(b) – f(a)), daraus folgt, weil f ‒1 streng monoton wachsend ist, dass a + c(b – a) = f ‒1 (f(a + c(b – a))) ª f ‒1 (f(a) + c(f(b) – f(a))). Wenn wir das von rechts nach links lesen, haben wir das, was wir zeigen wollten. Auf gleiche Weise zeigt man: Wenn eine Funktion f von einer Teilmenge von R nach R streng monoton wachsend und konkav ist, dann ist ihre Umkehrfunktion f ‒1 konvex. Also erhalten wir: Die n-ten Wurzelfunktionen sind (als Umkehrfunktionen der n-ten Potenzfunktionen) auf der ganzen Halbgeraden R 0 + konkav. 303 Zeichne mithilfe eines CAS den Graphen von f mit f(x) = x a für verschiedene Zahlen a * (0; 1], wobei die Zahl a mit einem Schieberegler verändert werden kann. Experimentiere mit verschie- denen Zahlen a * (0; 1] und beantworte danach folgende Fragen: a. Welche zwei Punkte liegen immer auf dem Funktionsgraphen? b. Wie ändert sich der Funktionsgraph, wenn man a vergrößert bzw. verkleinert? 304 Das Bild rechts zeigt die Graphen der Wurzelfunktionen f mit f(x) = m 9 _ x und g mit g(x) = n 9 _ x für positive ganze Zahlen m und n. Welche der zwei Zahlen ist größer, m oder n? 305 Entscheide, welche der Aussagen richtig sind. A Wurzelfunktionen sind auf ganz R definiert. B Wurzelfunktionen sind auf R 0 + streng monoton wachsend. C Wurzelfunktionen sind auf R 0 + monoton fallend. D Wurzelfunktionen sind auf R 0 + konvex. E Wurzelfunktionen sind auf R 0 + konkav. F Wurzelfunktionen sind Umkehrfunktionen von Einschränkungen von Potenzfunktionen auf R 0 + . G Die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion auf R + ist eine Wurzelfunktion. H Die Einschränkung einer Potenzfunktion auf R 0 + ist die Umkehrfunktion einer Wurzelfunktion. Umkehr- funktionen von streng monoton wachsenden, konvexen Funktionen y x b a u v Umkehr- funktionen von streng monoton wachsenden, konkaven Funktionen die n-te Wurzelfunktion ist konkav B, C ggb w6td5d C x y 0 1 2 4 5 3 1 2 3 (1 1 1) f g D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv