Mathematik HTL 2, Schulbuch

68 Potenz- und Wurzelfunktionen Wurzelfunktionen Wir haben bereits gesehen, dass die Funktion: R + ¥ R + , z ¦ 9 _ z die Umkehrfunktion der Potenz- funktion g: R + ¥ R , z ¦ z 2 ist. Wir sprechen hier von einer Wurzelfunktion . Wir haben uns aber auch überlegt, dass die Funktion g nicht umkehrbar ist. Zum Beispiel ist g(1) = 1 2 = (‒1) 2 = g(‒1), also haben zwei verschiedene Zahlen denselben Funktionswert bezüglich g. Für alle positiven ganzen Zahlen n schränken wir den Definitionsbereich von f mit f(x) = x n auf R 0 + ein und betrachten f: R 0 + ¥ R 0 + , z ¦ z n . Dann ist Bild(f) = R 0 + , weil es zu jeder nicht negativen reellen Zahl a genau eine nicht negative reelle Zahl gibt, deren n-te Potenz a ist, und zwar die n-te Wurzel aus a, also n 9 _ a. Daher: Die n-te Potenzfunktion f: R 0 + ¥ R 0 + , z ¦ z n ist umkehrbar, ihre Umkehrfunktion ist R 0 + ¥ R 0 + , z ¦ n 9 _ z, die n-te Wurzelfunktion . Die Zahl n heißt Wurzelexponent dieser Funktion. Wir können den Graphen der n-ten Potenzfunktion über R 0 + zeichnen und erhalten somit durch Spiegeln an der 1. Mediane (das ist die Gerade in R 2 durch (0 1 0) und (1 1 1)) auch den Graphen der n-ten Wurzelfunktion. Sieht man diese Graphen, vermutet man gleich, dass die n-ten Wurzelfunktionen für alle positiven ganzen Zahlen n streng monoton wachsend und konkav sind. Das können wir uns allgemein überlegen: Wenn eine Funktion f von einer Teilmenge von R nach R streng monoton wachsend ist, dann hat sie eine Umkehrfunktion f ‒1 (deren Definitionsbereich ist das Bild von f) und diese ist auch streng monoton wachsend. Denn: Wenn c und d Elemente des Bildes von f sind und c < d ist, dann gibt es Zahlen a, b so, dass f(a) = c und f(b) = d ist. Wegen c ≠ d müssen auch die Zahlen a und b verschieden sein. Wäre a = b, dann wäre der Funktionswert von a sowohl c als auch d. Da c und d verschieden sind, kann das nicht sein. Wäre b < a, dann wäre, weil f streng monoton wachsend ist, auch d = f(b) < f(a) = c, was nach Annahme nicht stimmt. Also muss a < b sein, das heißt: f ‒1 (c) < f ‒1 (d). Somit ist f ‒1 streng monoton wachsend. Auf gleiche Weise zeigt man: Wenn eine Funktion f von einer Teilmenge von R nach R streng monoton fallend ist, dann hat sie eine Umkehrfunktion f ‒1 (deren Definitionsbereich ist das Bild von f) und diese ist auch streng monoton fallend. Achtung Die Bezeichnung f ‒1 hat zwei verschiedene Bedeutungen:  Einerseits ist damit die Umkehrfunktion von f gemeint. Wenn zum Beispiel f die erste Potenz- funktion ist, dann ist ihre Umkehrfunktion f ‒1 diese Funktion f selbst.  Andererseits ist damit die Funktion 1 _ f gemeint. Diese Funktion ordnet jeder Zahl x, die nicht Nullstelle von f ist, die Zahl 1 _ f(x) zu. Wenn zum Beispiel f die erste Potenzfunktion ist, dann ist 1 _ f die Potenzfunktion mit Grad ‒1, die jeder Zahl x ≠ 0 die Zahl 1 _ x zuordnet. Ebenso darf die Umkehrfunktion f ‒1 der n-ten Potenzfunktion f mit f ‒1 (x) = n 9 _ x nicht mit der rationalen Funktion g mit g ‒n (x) = (x ‒1 ) n = 1 _ x n verwechselt werden. Es muss daher immer ange- geben werden, welche Bedeutung das Zeichen „‒1“ hat. n-te Wurzel- funktion Wurzel- exponent x 1 y 0 1 (1 1 1) ń[ 3 ń[ 4 ń[ x 4 x 3 x 2 ggb y8yd46 y x b f a c d Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv