Mathematik HTL 2, Schulbuch

66 2.3 Wurzelfunktionen Ich lerne mit Wurzeln und Wurzelfunktionen zu rechnen. Ich lerne Aussagen über die Gestalt des Graphen einer Wurzelfunktion zu machen und umgekehrt aus dem Graphen einer Wurzelfunktion ihre Eigenschaften abzulesen. Ich lerne Wurzelgleichungen zu lösen. Rechnen mit Wurzeln Wir wiederholen, was wir bereits über Wurzeln wissen: Für eine positive ganze Zahl n und eine positive reelle Zahl a gibt es genau eine positive reelle Zahl b mit b n = a. Wir nennen diese eindeutig bestimmte Zahl b die n-te Wurzel aus a und bezeichnen sie mit n 9 _ a oder a 1 _ n . Dann ist 2 n 9 _ a 3 n = 2 a 1 _ n 3 n = a . Für positive ganze Zahlen m, n haben wir die folgende Schreibweise vereinbart: a m _ n = n 9 __ a m und a – m _ n = n 9 ___ 2 1 _ a 3 m Wir können dann Wurzeln als Potenzen auffassen, deren Expnenten rationale Zahlen sind. Solche Potenzen nennen wir rationale Potenzen . Wir kennen schon die folgenden Rechenregeln für Potenzen und für Wurzeln: Für zwei positive reelle Zahlen a und b und rationale Zahlen q und s gilt: a q ·a s = a q + s Rationale Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert werden. a q _ a s = a q – s Rationale Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem die Exponenten subtrahiert werden. a 0 = 1 a ‒q = 1 _ a q (a q ) s = a q·s Potenzen werden potenziert, indem die Exponenten multipliziert werden. (a·b) q = a q ·b q Die Potenz eines Produktes ist gleich dem Produkt der Potenzen. 2 a _ b 3 q = a q _ b q Die Potenz eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Potenzen. Wir dividieren eine positive ganze Zahl p mit Rest durch eine positive ganze Zahl n: p = m·n + r, wobei 0 ª r < n ist. Dann ist n 9 __ a p = a p _ n = a m·n + r __ n = a m ·a r _ n = a m · n 9 __ a r . Den Übergang von n 9 __ a p zu a m · n 9 __ a r nennen wir „teilweise Wurzel ziehen” . 292 Wandle Dividend und Divisor von 3 9 _ 2 _ 12 9 _ 2 zuerst in die Potenzschreibweise um, schreibe den Quotienten wieder als Potenz und wandle anschließend wieder in die Wurzelschreibweise zurück. 3 9 _ 2 _ 12 9 _ 2 = 2 1 _ 3 _ 2 1 _ 12 = 2 4 _ 12 – 1 _ 12 = 2 3 _ 12 = 2 1 _ 4 = 4 9 _ 2 n-te Wurzel rationale Potenzen Rechnenregeln für rationale Potenzen „teilweises Wurzelziehen“ B mit Wurzeln rechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv