Mathematik HTL 2, Schulbuch

64 Potenz- und Wurzelfunktionen Ist nämlich a eine reelle Zahl, dann gibt es genau eine reelle Zahl z mit a = f(z) = kz + d. Diese Zahl z ermitteln wir wie oben durch Lösen der linearen Gleichung a = kz + d mit der Unbe- kannten z. Es ist z = 1 _ k (a – d) (wir haben durch k dividiert, dafür mussten wir k ≠ 0 voraussetzen). Damit kennen wir auch schon die Umkehrfunktion f ‒1 , sie ist f ‒1 : R ¥ R , a ¦ 1 _ k ·a – d _ k . Die Rechnung bestätigt das Ergebnis der zuvor durchgeführten Konstruktion durch Spiegelung: Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion mit Änderungsrate ungleich 0 ist wieder eine lineare Funktion. Manche Funktionen sind zwar nicht „als ganze“ umkehrbar, wenn man allerdings den Definitionsbereich einschränkt, kann man sie auf diesem Bereich umkehren. Die Funktion g: R ¥ R , z ¦ z 2 ist nicht umkehrbar. Zum Beispiel ist g(1) = 1 2 = (‒1) 2 = g(‒1), also haben zwei verschiedene Zahlen denselben Funktionswert bezüglich g. Wir schränken den Definitionsbereich von g auf R + ein und betrachten g: R + ¥ R , z ¦ z 2 . Dann ist Bild(g) = R + . Zu jeder positiven reellen Zahl y gibt es genau eine positive reelle Zahl, deren Quadrat y ist. Diese Zahl heißt Wurzel aus y, wir schreiben für sie 9 _ y. Die Umkehrfunktion von g: R + ¥ R ist dann g ‒1 : R + ¥ R + , z ¦ 9 _ z. 282 Konstruiere den Graphen der Umkehrfunktion durch die Spiegelung an der 1. Mediane. a. b. 283 Konstruiere aus dem Graphen der gegebenen Funktion f den Graphen der Umkehrfunktion. a. f(x) = 2x + 1 b. f(x) = ‒ 1 _ 2 x + 3 c. f(x) = 2,5x d. f(x) = x – 2 284 Berechne die Umkehrfunktion. a. h: R ¥ R , x ¦ 1 _ 4 x c. j: R ¥ R , z ¦ z _ 3 – 1 _ 4 b. i: R ¥ R , x ¦ 2x – 1 d. k: R ¥ R , z ¦ 0,52z – 1,8 285 Welche der Funktionen sind die Umkehrfunktion der Funktion f: R ¥ R , z ¦ 4z + 8? A g: R ¥ R , a ¦ a _ 8 – 4 _ 8 D g: R ¥ R , a ¦ a _ 4 + 2 G g: R ¥ R , a ¦ 4a + 8 B g: R ¥ R , a ¦ a _ 4 – 8 _ 4 E g: R ¥ R , a ¦ a _ 4 – 2 H g: R ¥ R , a ¦ 4a – 8 C g: R ¥ R , a ¦ a _ 4 + 8 _ 4 F g: R ¥ R , a ¦ a – 8 _ 4 I g: R ¥ R , a ¦ ‒4a – 8 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 f f -1 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 4 3 2 1 g -1 g - 3 - 2 -1 B ggb y5bd8i 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 4 3 5 6 2 1 - 2 -1 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 4 3 5 6 2 1 - 2 -1 B ggb cz3q4e B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv