Mathematik HTL 2, Schulbuch

63 2.2 Umkehrfunktionen Tipp Aus dem Graphen einer Funktion f: R ¥ R können wir ablesen, ob die Funktion umkehrbar ist oder nicht: Sie ist genau dann umkehrbar, wenn auf jeder Geraden, die parallel zur ersten Koordinatenachse ist, höchstens ein Punkt des Graphen liegt. Liegen nämlich zwei Punkte (z 1 , f(z 1 )) und (z 2 , f(z 2 )) auf einer solchen Geraden, dann muss f(z 1 ) = f(z 2 ) sein und die Bilder der zwei verschiedenen Zahlen z 1 und z 2 sind gleich. Daher kann in diesem Fall f nicht umkehrbar sein. Die Funktion s: R 2 ¥ R 2 , (a, b) ¦ (b, a) vertauscht die zwei Komponenten jedes Zahlenpaares. Wenn wir diese Funktion geometrisch deuten, entspricht sie der Spiegelung eines Punktes an der 1. Mediane. Bild(s), das Bild der Funktion s, ist R 2 : Zu jedem Paar (u, v) von reellen Zahlen gibt es genau ein Zahlenpaar, dessen Funktionswert bezüglich s das Paar (u, v) ist, nämlich (v, u). Daher ist die Funktion s umkehrbar. Ihre Umkehrfunktion s ‒1 ordnet jedem Zahlenpaar (u, v) das Zahlenpaar (v, u) zu, also ist s ‒1 = s. Dies ist auch geometrisch leicht einzusehen: Wird der gespiegelte Punkt erneut an der 1. Mediane gespiegelt, erhalten wir wieder den Ausgangspunkt. Wenn eine Funktion f: R ¥ R umkehrbar ist und wir den Graphen von f bereits bezüglich eines Koordinatensystems gezeichnet haben, dann erhalten wir den Graphen von f ‒1 zeichnerisch, indem wir die Menge Graph(f) an der 1. Mediane spiegeln. Besonders einfach ist dies, wenn f eine lineare Funktion k·x + d mit k ≠ 0 ist. Der Graph einer solchen Funktion ist ja eine Gerade in der Ebene. Wir müssen daher nur zwei Punkte, die auf der Geraden liegen, an der 1. Mediane spiegeln. Die gespiegelte Gerade (und damit Graph(f ‒1 )) erhalten wir, indem wir eine Gerade durch die gespiegelten Punkte legen. 281 Ist die lineare Funktion f: R ¥ R , z ¦ 3z – 2 umkehrbar? Wir müssen prüfen, ob es zu jeder reellen Zahl a genau eine reelle Zahl z mit a = f(z) = 3z – 2 gibt. Die lineare Gleichung a = 3z – 2 mit der Unbekannten z hat genau eine Lösung, nämlich z = 1 _ 3 (a + 2) = a _ 3 + 2 _ 3 . Also ist f umkehrbar und die Umkehrfunktion ist f ‒1 : R ¥ R , a ¦ a _ 3 + 2 _ 3 . Für alle reellen Zahlen k, d mit k ≠ 0 ist die lineare Funktion f: R ¥ R , z ¦ kz + d umkehrbar. Ihre Umkehrfunktion ist f ‒1 : R ¥ R , a ¦ 1 _ k ·a – d _ k . 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 A B C ggb 45a9jh 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 P s(P) 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 f f -1 D ggb ge67gh prüfen, ob eine Funktion umkehrbar ist Umkehrfunktion einer linearen Funktion Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv