Mathematik HTL 2, Schulbuch

62 2.2 Umkehrfunktionen Ich lerne zu entscheiden, ob gewisse Funktionen umkehrbar sind, und gegebenenfalls ihre Umkehrfunktionen rechnerisch und graphisch zu bestimmen. Die Schüler Tobias, Jonas, Felix, Martin und Simon machen einen Wettlauf. Der Turnlehrer schreibt in eine Tabelle, wer als Erster, Zweiter, …, Fünfter über die Ziellinie gelaufen ist. Durch diese Tabelle wird die Funktion von der Menge der Schüler {Tobias, Jonas, Felix, Martin, Simon} in die Menge der Zahlen {1, 2, 3, 4, 5} dargestellt, die jedem Schüler seine Platzierung zuordnet. Um die Fragen „Wer war Dritter?“, „Wer war Fünfter?“ … rasch beantworten zu können, schreiben wir die folgende Tabelle an: Durch diese Tabelle wird die Funktion von der Menge der Zahlen {1, 2, 3, 4, 5} in die Menge der Schüler {Tobias, Jonas, Felix, Martin, Simon} dargestellt, die jeder Platzierung den Schüler, der sie im Wettrennen erreicht hat, zuordnet. Wir könnten diese neue Funktion auch angeben, indem wir sagen, dass die erste Tabelle von rechts nach links anstatt von links nach rechts gelesen werden soll. Bezeichnen wir die erste Funktion, die jedem Schüler seine Platzierung zuordnet, mit P, dann bezeichnen wir die zweite Funktion, die jeder Platzierung den Schüler, der sie erreicht hat, zuordnet, mit P ‒1 und nennen sie die Umkehrfunktion von P . Was wäre gewesen, wenn Felix und Martin gleich schnell gelaufen wären? Dann wären sie ex aequo auf dem dritten Platz gelandet. Dann hätten wir keine Umkehrfunktion von P erhalten, weil wir dafür der Zahl 3 sowohl Felix als auch Martin zuordnen müssten. Eine Funktion muss aber jedem Element des Definitionsbereichs genau eine (und nicht zwei!) Elemente des Werte- bereichs zuordnen. Mit f bezeichnen wir eine Funktion. Wir nennen ihren Definitionsbereich M und ihren Werte- bereich N also f: M ¥ N. Es kann sein, dass nicht jedes Element von N ein Bild eines Elementes von M ist. Wir definieren daher: Das Bild der Funktion f ist die Menge Bild(f) = {f(m) ‡ m ist ein Element von M} aller Funktionswerte bezüglich f von Elementen des Definitionsbereiches. Die Funktion f heißt umkehrbar, wenn jedes Element von Bild(f) der Funktionswert von nur einem Element aus M ist. Wenn f umkehrbar ist, dann ist die Funktion mit Definitionsbereich Bild(f) und Wertebereich M, die jedem Element f(m) * Bild(f) das eindeutig bestimmte Element m, dessen Funktionswert f(m) ist, zuordnet, die Umkehrfunktion von f. Wir bezeichnen sie mit f ‒1 : Bild(f) ¥ M, f(m) ¦ m Damit gilt für alle Elemente z des Definitionsbereichs f –1 (f(z)) = z. Der Graph von f ist Graph(f) = {(m 1 f(m)) ‡ m * M}. Der Graph von f ‒1 ist dann Graph(f ‒1 ) = {(f(m) 1 m) ‡ m * M}. Wir erhalten den Graphen von f ‒1 ganz einfach aus dem Graphen von f, indem wir die Komponenten der Paare vertauschen. Name Platzierung Tobias 5 Jonas 1 Felix 4 Martin 3 Simon 2 Platzierung Name 1 Jonas 2 Simon 3 Martin 4 Felix 5 Tobias Bild einer Funktion umkehrbar Umkehr- funktion 2.2 Um- kehr- funktio- nen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv