Mathematik HTL 2, Schulbuch

58 Potenz- und Wurzelfunktionen Wir betrachten eine Funktion f von einer Teilmenge von R nach R . Mit D bezeichnen wir eine Teilmenge des Definitionsbereichs von f, die ein Intervall oder eine Halbgerade oder die ganze Zahlengerade ist. Die Funktion f heißt auf D konvex , wenn für alle a, b * D mit a < b und für alle c * [0;1] f(a + c(b – a)) ª f(a) + c(f(b) – f(a)) ist. Die Funktion f heißt auf D konkav , wenn für alle a, b * D mit a < b und für alle c * [0; 1] f(a + c(b – a)) º f(a) + c(f(b) – f(a)) ist. Geometrisch formuliert: Die Funktion f heißt auf D konvex bzw. konkav, wenn f ür alle a, b * D mit a < b und für alle z * [a;b] die Punkte (z 1 f(z)) des Graphen von f „unterhalb oder auf der Strecke“ bzw. „oberhalb oder auf der Strecke“ zwischen (a 1 f(a)) und (b 1 f(b)) liegen. f ist über dem Intervall [a; b] konvex f ist über dem Intervall [a; b] konkav Beispiele:  Jede lineare Funktion ist auf R konvex und konkav zugleich.  Die Betragsfunktion ist auf R konvex, aber nicht konkav.  Wenn eine Funktion f konvex bzw. konkav ist, dann ist ‒ f konkav bzw. konvex. 265 Zeige, dass f mit f(x) = x 2 auf R konvex ist. Wir zeigen, dass für alle Zahlen a, b, c mit a < b und 0 < c < 1 gilt: f(a + c(b – a)) ª f(a) + c(f(b) – f(a)). Wegen f(a + c(b – a)) = a 2 + 2ac(b – a) + c 2 (b – a) 2 und f(a) + c(f(b) – f(a)) = a 2 + c(b 2 – a 2 ) genügt es zu zeigen, dass für alle a, b, c mit a < b die Bedingung 2ac(b – a) + c 2 (b – a) 2 ª c(b 2 – a 2 ) erfüllt ist. Da b > a und c > 0 ist, können wir auf beiden Seiten des Ungleichheitszeichens durch c und b – a dividieren und erhalten die äquivalente Bedingung 2a + c(b – a) ª a + b | ‒ a – cb a – ca ª b – cb Diese ist zu (1 – c)a ª (1 – c)b und (wegen c < 1) zu der nach Voraussetzung immer erfüllten Bedingung a ª b äquivalent. Tipp Wenn wir von einer Funktion g wissen, dass sie konvex ist, können wir das für das Zeichnen ihres Graphen nützen: Wir berechnen zwei Punkte (a 1 g(a)) und (b 1 g(b)) des Graphen von g und zeichnen die Strecke zwischen diesen zwei Punkten ein. Wir wissen dann, dass der Graph von g zwischen diesen zwei Punkten „unterhalb“ der Strecke verlaufen muss. Wäre die Funktion konkav, müsste der Graph „oberhalb“ dieser Strecke verlaufen. konvex konkav x y 0 (a 1 f(a)) a b (b 1 f(b)) x y 0 (a 1 f(a)) a b (b 1 f(b)) D zeigen, dass eine Funktion konvex ist Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv