Mathematik HTL 2, Schulbuch

57 2.1 Potenzfunktionen 264 Eine Sektflöte hat die Form eines auf der Spitze stehenden Drehkegels. Wenn die Höhe h in cm bekannt ist, kann das Füllvolumen V in m ® berechnet werden: V = h 2 π _ 108 . a. Stelle die Funktion, die jeder Zahl h * [0; 8] das Füllvolumen (in m ® ) bei Höhe h cm zuordnet, graphisch dar. b. Ermittle anhand des Graphen, für welche Füllhöhe das Füllvolumen 12m ® beträgt. Überprüfe das Ergebnis durch Rechnung. c. Welchen Anteil des maximalen Füllvolumens benötigt man, um das Glas bis zur halben Füllhöhe anzufüllen? Konvexität von Funktionen Um den Graphen einer Potenzfunktion noch besser zeichnen zu können, betrachten wir eine weitere Eigenschaft. Wenn wir zum Beispiel den Graphen der Funktion f mit f(x) = x 3 gezeichnet haben, beobachten wir, dass dieser zuerst eine „Rechtskurve“, dann eine „Linkskurve“ beschreibt. Das heißt, dass der Graph von f über dem Intervall [‒1; 0] „oberhalb“ der Strecke zwischen den Punkten (‒1 1 ‒1) und (0 1 0) liegt, und über dem Intervall [0; 1] „unterhalb“ der Strecke zwischen den Punkten (0 1 0) und (1 1 1). Dasselbe gilt für alle Intervalle, die in [‒1; 0] bzw. [0; 1] enthalten sind. Wir sagen dann, dass die Funktion f über dem Intervall [‒1; 0] konkav und über dem Intervall [0; 1] konvex ist. Diese Beobachtung hilft uns aber zunächst nicht, den Graphen von f zu zeichnen, weil wir ja angenommen haben, dass wir ihn schon gezeichnet haben! Wir müssen die Begriffe konvex und konkav daher so formulieren, dass wir anhand der Zuordnungs- vorschrift entscheiden können, ob sie auf eine Funktion zutref- fen oder nicht. Wenn ja, können wir sie zum Zeichnen des Graphen dieser Funktion verwenden. Dazu müssen wir zuerst Strecken in der Ebene rechnerisch beschreiben. Die Gerade durch zwei Punkte P und Q der Ebene ist {P + c(Q – P) ‡ c * R }. Die Strecke zwischen 0 und Q – P ist {c(Q – P) ‡ 0 ª c ª 1}, daher ist {P + c(Q – P) ‡ 0 ª c ª 1} die Strecke zwischen P und Q. Die Strecke zwischen zwei Punkten P und Q ist {P + c·(Q – P) ‡ 0 ª c ª 1}. Wir betrachten reelle Zahlen a, b mit a < b und eine Funktion f von einer Teilmenge von R nach R , deren Definitionsbereich das Intervall [a; b] enthält. Die Menge {(a 1 f(a)) + c(b – a 1 f(b) – f(a)) ‡ 0 ª c ª 1} = = {(a + c(b – a) 1 f(a) + c(f(b) – f(a))) ‡ 0 ª c ª 1} ist dann die Strecke zwischen den Punkten (a 1 f(a)) und (b 1 f(b)) des Graphen von f. Der Graph von f über dem Intervall [a; b] liegt daher „unterhalb der Strecke zwischen (a 1 f(a)) und (b 1 f(b)), wenn für alle reellen Zahlen c mit 0 ª c ª 1 gilt: f(a + c(b – a)) ª f(a) + c(f(b) – f(a)). A, C ggb 7t45zy y x 0 - 2 -1 1 x 3 2 - 2 -1 1 2 (1 1 1) (-1 1 -1) Strecke zwischen zwei Punkten x y 0 (b 1 f(b)) a + c(b – a) b a (a 1 f(a)) (a + c(b – a) 1 f(a) + c(f(b) – f(a)) (a + c(b – a) 1 f(a + c(b – a)) f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv