Mathematik HTL 2, Schulbuch

52 Potenz- und Wurzelfunktionen Zur Erinnerung: Wenn a und b positive Zahlen sind und a < b ist, dann ist ‒b < ‒a. Wenn n eine gerade Zahl ist, dann ist für a < b und f mit f(x) = x n  f(‒b) = f(b) > f(a) = f(‒a), wenn n positiv ist (weil dann f auf R + streng monoton wachsend ist) und  f(‒b) = f(b) < f(a) = f(‒a), wenn n negativ ist (weil dann f auf R + streng monoton fallend ist). Also ist die n-te Potenzfunktion für gerade Zahlen n auf R – streng monoton fallend, wenn n positiv ist, und auf R – streng monoton wachsend, wenn n negativ ist. Wenn n eine ungerade Zahl ist, dann ist für a < b und f mit f(x) = x n  f(‒a) = ‒ f(a) > ‒ f(b) = f(‒b), wenn n positiv ist (weil dann f auf R + streng monoton wachsend ist) und  f(‒a) = ‒ f(a) < ‒ f(b) = f(‒b), wenn n negativ ist (weil dann f auf R + streng monoton fallend ist). Also ist die n-te Potenzfuntion für ungerade Zahlen n auf R – streng monoton wachsend, wenn n positiv ist, und auf R – streng monoton fallend, wenn n negativ ist. Die Graphen aller Potenzfunktionen haben einen gemeinsamen Punkt und zwar (1 1 1), weil 1 n = 1 ist für alle ganzen Zahlen n. Die Graphen aller Potenzfunktionen mit positiven Exponenten haben einen weiteren gemein- samen Punkt und zwar (0 1 0). Die Graphen aller Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben den Punkt (‒1 1 1) gemeinsam. Die Graphen aller Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten haben den Punkt (‒1 1 ‒1) gemeinsam. Wenn 0 < a < 1 ist, dann ist a > a 2 > a 3 > … Wenn 1 < a ist dann ist a < a 2 < a 3 < … Für die Graphen der Potenzfunktionen g mit g(x) = x m und f mit f(x) = x n mit m < n bedeutet das: Der Punkt (a 1 a m ) des Graphen von g liegt zwischen dem Punkten (a 1 0) auf der ersten Koordinatenachse und dem Punkt (a 1 a n ) des Graphen von f, wenn a > 1 ist. Der Punkt (a 1 a n ) des Graphen von f liegt zwischen dem Punkten (a 1 0) auf der ersten Koordinatenachse und dem Punkt (a 1 a m ) des Graphen von g, wenn 0 < a < 1 ist. In der Abbildung ist m = 2, n = 3 und a = 1 _ 2 bzw. 3 _ 2 . Monotonie von Potenz- funktionen Monotonie von Potenz- funktionen y x 0 - 2 -1 1 2 -1 1 2 3 x 3 x 2 ( 1 ) 1 2 1 8 ( 1 ) 1 2 1 4 ( 1 ) 3 2 9 4 ( 1 ) 3 2 27 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv