Mathematik HTL 2, Schulbuch

51 2.1 Potenzfunktionen Diese Bilder legen die Vermutung nahe: Alle n-ten Potenzfunktionen mit positivem Exponenten n sind auf der Halbgeraden R + streng monoton wachsend. Diese Vermutung beweisen wir nun: Wenn a und b positive Zahlen sind und a < b ist, dann ist a·a < a·b (weil a positiv ist) und a·b < b·b (weil b positiv ist), daher auch a 2 < b 2 . Damit ist aber a·a 2 < a·b 2 (weil a positiv ist) und a·b 2 < b·b 2 (weil b 2 positiv ist), also a 3 < b 3 . Das können wir so fortführen und erhalten für jede positive ganze Zahl n: a n < b n . Also konnten wir unsere Vermutung bestätigen. Wir lassen uns jetzt die Graphen von f mit f(x) = x n für n = ‒1, ‒2, ‒3 über der Halbgeraden R + skizzieren. Diese Bilder legen nahe: Alle n-ten Potenzfunktionen mit negativem Exponenten n sind auf der Halbgeraden R + streng monoton fallend. Auch diese Vermutung können wir beweisen: Wenn c und d positive Zahlen sind und c < d ist, dann ist 1 _ d < 1 _ c . Daher ist für jede positive Zahl n d ‒n = 1 _ d n < 1 _ c n = c ‒n . Fassen wir zusammen: Eine Potenzfunktion mit positivem Exponenten ist auf der Halbgeraden R + streng monoton wachsend. Eine Potenzfunktion mit negativem Exponenten ist auf der Halbgeraden R + streng monoton fallend. Wie verhalten sich Potenzfunktionen auf der negativen Halbgeraden R – ? Für alle reellen Zahlen x ist (‒ x) n = (‒1) n ·x n . Wenn also n eine gerade Zahl ist, dann ist (‒ x n ) = x n . Wenn also n eine ungerade Zahl ist, dann ist (‒ x) n = ‒ x n . Eine Funktion g von R oder R \{0} nach R heißt gerade , wenn g(‒a) = g(a) ist, für alle Zahlen a und ungerade , wenn g(‒a) = ‒g(a) ist, für alle Zahlen a. Beispiele :  Potenzfunktionen mit geraden Exponenten sind gerade, solche mit ungeraden Exponenten sind ungerade.     Die Betragsfunktion ist gerade.     Die Signumfunktion ist ungerade.     Die Funktion h mit h(x) = x + 1 ist weder gerade noch ungerade, weil zum Beispiel h(1) = 2 ist, aber h(‒1) = 0 und nicht 2 oder ‒2 ist. Monotonie von Potenz- funktionen gerade und ungerade Funktion x -1 - 2 1 x + 1 2 y 0 -1 - 2 1 2 sgn x 2 1 x 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv