Mathematik HTL 2, Schulbuch

5 Ein Blick ins Buch Für Aufgaben, die mit dem Symbol gekennzeichnet sind, ist ein Technologieeinsatz empfehlenswert. Aufgaben mit dem Symbol eignen sich besonders gut für Partner- oder Gruppenarbeiten . MultipleChoiceAufgaben und zahlreiche Aufgaben in den neuen Formaten bereiten auf die Zentralmatura vor. Am Ende jedes Abschnitts können in „ Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? “ die Kompetenzen mit Selbst­ kontrollaufgaben überprüft werden. Die Lösungen zu diesen Aufgaben befinden sich im Buch auf den Seiten 291 – 299. Die Kompetenzen sind durch einen Code den Inhaltsund Handlungsdimensionen der Standardmatrix zugeordnet. Die Standardmatrix ist auf der letzten Seite des Buches abgebildet. Am Ende jedes Kapitels gibt eine Zusammenfassung einen Überblick über die wichtigsten Aussagen des Kapitels. Mit zusammenfassenden Aufgaben können im Anschluss die Inhalte des gesamten Kapitels noch einmal losgelöst von den Theorieabschnitten gefestigt werden. 60 PotenzundWurzelfunktionen 268 ZeichnedenGraphendergegebenenFunktionfimIntervall[‒1;1]genau.BerechnedazudieFunk­ tionswerteandenStellen0, 1 _ 10 , 2 _ 10 , 3 _ 10 ,…, 8 _ 10 , 9 _ 10 ,1.Umdie „Zwischenräume“auszufüllen,verwende, dassdieseFunktionimIntervall[0;1]strengmonotonwachsendundkonvexist.FürdenGraphen derFunktionauf[‒1;0]verwende,dassdieseFunktiongeradeoderungeradesind. a. f(x)= x 2 b. f(x)= x 3 c. f(x)= x 4 d. f(x)= x 5 269 ZeichnedenGraphender Funktion fmithilfeeinesgeeignetenProgrammsundbestimme, aufwelchenIntervallenoderHalbgeradendieFunktionkonvexbzw.konkavist. a. f(x)= † x 3 † c. f(x)= x 2 e. f(x)= x ‒2 b. f(x)= x 4 + x 2 + 1 d. f(x)=‒x 5 f. f(x)= x ‒1 + x 270 Begründe,warumdieBetragsfunktion konvex ist. 271 ZeichnetdenGrapheneinerFunktionfvon[‒3;3]nach R mitdenangegebenenEigenschaften und vergleichtdie LösungeneurerGruppe. a. fistauf[‒3;‒2]konkav,auf[‒2;0]konvexundauf[0;3]konkav. b. fistauf[‒3;‒2]konkav,auf[‒2;0]konvexundauf[0;3]konkavund strengmonotonwachsend. c. fistauf[‒3;‒2]konkav,auf[‒2;0]konvexundauf[0;3]konkavundstrengmonotonfallend. d. fistauf[‒3;0]konvexundfisteinegeradeFunktion. e. fistauf[‒3;0]konvexundfisteineungeradeFunktion. f. fistauf[‒3;0]konvexundstrengmonotonfallendundauf[0;3]konkavundstrengmonoton wachsend. 272 Diskutiert,welchederBehauptungen richtig sind.BegründeteureEntscheidung.Betrachtetdazu zuerstdieGraphen voneinigenPotenzfunktionen.Schreibtan,wiedieBegriffe konvexund kon­ kavdefiniert sind.Benutztdann,dassPotenzfunktionenauf R + konvex sindunddassPotenzfunk­ tionenmitgeradembzw.ungerademExponentengeradebzw.ungerade Funktionen sind. A EinePotenzfunktionmitgerademundpositivemExponenten istauf R – konvex. B EinePotenzfunktionmitungerademundpositivemExponenten istauf R – konkav. C EinePotenzfunktionmitgerademundnegativemExponenten istauf R – konvex. D EinePotenzfunktionmitungerademundnegativemExponenten istauf R – konkav. 273 InderAbbildungsiehstdudieGraphenzweierPotenzfunktionen. WelchederAussagen sind richtig? A f istauf R konkav. B g istauf R + konvex. C fhateinengeradenExponenten. D ghateinengeradenExponenten. E DerGrad von f istgrößeralsderGrad vong. F f isteinegerade Funktion. G g isteineungerade Funktion. H DerGrad von f istnegativ. 274 ZeichnedieGraphender Funktion fmithilfeeinesgeeignetenProgrammsundgiban, in welchemIntervalldieFunktionkonkavbzw.konvexist. a. f(x)= x 2 c. f(x)= ‒x 2 + x e. f(x) = x 2 –5x+6 b. f(x) = x 3 d. f(x) = † x+ 1 † f. f(x) = x –3 A,B B,C ggb wg5r49 D A,C ggb s7b5gd D C x y 0 4 3 2 1 1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 f g B,C ggb p9n4ca HTL_2_ND_2013.indb 60 11.07.2013 14:59:37 75 Zusammenfassung FürnatürlicheZahlennnennenwirdie Funktionen R¥R , z ¦ z n und R \{0} ¥R , z ¦ z ‒n Potenzfunktionen .DieZahlnbzw.‒nheißtder Grad oder Exponent derPotenzfunktion. FüralleganzenZahlenm,ngilt: FüralleZahlen x ist x n ·x m = x n+m , alsoistdasProduktderntenmitdermten Potenzfunktionistdie(n+m)tePotenzfunktion. FüralleZahlen x ist x n _ x m = x n–m , alsoistderQuotientderntenunddermten Potenzfunktionistdie(nm)tePotenzfunktion. FüralleZahlen x ist (x m ) n = x m·n , alsoistdientePotenzdermtenPotenzfunktion die(m·n)tePotenzfunktion. Füreine Funktion f voneinerTeilmenge von R nach R bezeichnenwirmitDeineTeilmenge desDefinitionsbereichsvonf,dieeinIntervallodereineHalbgeradeoderdieganzeZahlen­ gerade ist.Die Funktion fheißt aufDkonvex bzw. konkav ,wenn fürallea,b * Dmita<bund für alle c * [0;1]gilt: f(a+ c(b– a))ª f(a)+ c(f(b)– f(a)) bzw. f(a+ c(b– a)) º f(a)+ c(f(b)– f(a)) DerGraph jederPotenzfunktionenthältdenPunkt (1 1 1).WennderExponentnderPotenz­ funktionpositiv ist, istauch (0 1 0)einElement ihresGraphen. positiverExponent negativerExponent R – R + R – \{0} R + \{0} gerader Exponent strengmonoton fallend strengmonoton wachsend strengmonoton wachsend strengmonoton fallend konvex konvex konvex ungerader Exponent strengmonoton wachsend strengmonoton fallend strengmonoton fallend konkav konvex konkav konvex DieGraphenderPotenzfunktionen sehenalso soaus: Exponentposititivundgerade: Exponentnegativundgerade: Exponentpositivundungerade: Exponentnegativundungerade: Potenz­ funktionen Rechenregeln Konvexe undkonkave Funktionen Eigenschaften vonPotenz­ funktionen x y 0 2 2 1 1 2 1 1 2 x 2 x 4 x y 0 2 2 1 1 2 1 1 2 x 2 x 4 x y 0 2 2 1 1 2 1 1 2 x 3 x 5 x y 0 2 2 1 1 2 1 1 2 x 3 x 1 HTL_2_ND_2013.indb 75 11.07.2013 14:59:48 74 PotenzundWurzelfunktionen 333 EinZaunderLängeLsolldazuverwendetwerden,einquadratischesGrundstückeinzuzäunen. Wieberechnetmandie FlächeAdesGrundstücks,wenndie Länge Lbekannt ist? 334 Die Länge sderMantellinieeinesKegelstumpfesmitHöhehundKreisradien r 1 und r 2 ist s = 9 _______ (r 2 – r 1 ) 2 +h 2 .WieberechnetmandieHöheh,wenn s, r 1 und r 2 bekannt sind? 335 FürdieKugelkalottemiteinerHöheheinerKugelmitRadiusrunddemRadiusadesSchnitt­ kreisesgiltderZusammenhangh = r – 9 ____ r 2 –a 2 .Gibdurch LösenderGleichungnachaan,wie mandenRadiusdesSchnittkreisesberechnet,wennderRadiusderKugelunddieHöheder Kugelkalottebekannt sind. 336 Die FlächeAeinesKreisesmitUmfangu istA = u 2 _ 4 π . a. Berechne, fürwelchenUmfangdie Fläche 100cm 2 beträgt. b. Berechne,umwie vielProzentdie FlächedesKreiseswächst,wennmandenUmfang von 10cmauf 11cm erhöht. Washabe ich in diesemAbschnitt gelernt? IchkannmitWurzeln rechnenunddenGraphen vonWurzelfunktionen zeichnen. 337 SchreibedieZahlmitnureinerWurzelund ziehe,wennmöglich, teilweisedieWurzel. Dabeibezeichnena,b, cpositive reelleZahlen. a. 6 9 _ a· 4 9 __ a 3 = b. 6 9 __ b 5 _ 8 9 __ b 3 = c. 4 9 _ c· 3 9 __ c 2 · 6 9 _ c _ 6 9 __ c 5 = 338 Berechneden Funktionswert von fmit f(x)= 5 9 __ x 3 andenStellen0;0,2;0,6;1;2und4undzeichne danndenGraphen von füberdemIntervall[0;4]möglichstgenau. IchkannAussagenüberdenGrapheneinerWurzelfunktionmachen. 339 Welcher Funktionsgraphgehört zuwelcher Funktion? x ¦ 9 _ x x ¦ 5 9 _ x x ¦ 37 9 __ x 3 x ¦ 4 9 __ x 3 A B C D IchkannWurzelgleichungen lösen. 340 GibdieDefinitionsmengeanund lösedieWurzelgleichung. a. 9 ____ 6x+ 1– 9 ____ 3x –3= 9 ____ 2x–4 b. 9 ___ x+18+2 9 ___ 3x – 1= 9 _____ 24x+21 341 VermindertmaneineZahlumdieWurzelausderum1größerenZahlsoerhältman1. BerechnedieseZahl. 342 EinederGrenzfrequenzenineinemSchwingkreisistdurchf 1 = R+ 9 _____ R 2 +4· L _ C __ 4 π ·L gegeben. Nimman,dass L,Cund f 1 bekannt sind.WieberechnetmandannR? A B B B B B C x 1 2 y 0 2 3 4 1 x 1 2 y 0 2 3 4 1 x 1 2 y 0 2 3 4 1 x 1 2 y 0 2 3 4 1 B A,B B HTL_2_ND_2013.indb 74 11.07.2013 14:59:48 Handlungsdimension Inhaltsdimension Die charakteristischen mathematischen Tätigkeiten sind A Modellierenund Transferieren B Operierenund Technologieeinsatz C Interpretierenund Dokumentieren D Argumentierenund Kommunizieren 1 ZahlenundMaße … für eine Problemstellungmit ZahlenundMaßen eingeeignetes Modell findenund einenTransfer in andereBereiche durchführen. …mitZahlenund Maßenoperieren und situations­ gerecht technische Hilfsmittel einset­ zen. …ZahlenundMaße in ihremKontext interpretierenund meineÜberlegun­ gendokumentieren. …mithilfe von ZahlenundMaßen argumentierenund kommunizieren. 2 Algebraund Geometrie … füreineProblem­ stellungmithilfe derAlgebraund Geometrie eingeeig­ netesModell finden undeinenTransfer inandereBereiche durchführen. …mitalgebrai­ schenundgeomet­ rischenObjekten operierenund situationsgerecht technischeHilfsmit­ teleinsetzen. …algebraischeund geometrischeObjek­ te in ihremKontext interpretierenund meineÜberlegun­ gendokumentieren. … inder Fach­ sprachederAlgebra undGeometrie argumentierenund kommunizieren. 3 Funktionale Zusammenhänge … eingeeignetes Modell für einen funktionalenZusam­ menhang finden und einenTransfer inandereBereiche durchführen. …mit funktionalen Zusammenhängen operierenund situationsgerecht technischeHilfsmit­ teleinsetzen. … funktionale Zusammenhänge interpretierenund meineÜberlegun­ gendokumentieren. … funktionale Zusammenhänge argumentierenund kommunizieren. 4 Analysis … füreineProblem­ stellungmithilfeder Analysis eingeeig­ netesModell finden undeinenTransfer inandereBereiche durchführen. …Operationen in derAnalysis durchführenund situationsgerecht technischeHilfsmit­ tel einsetzen. …Zusammenhänge inderAnalysis interpretierenund meineÜberlegun­ gendokumentieren. … inder Fach­ sprachederAnalysis argumentierenund kommunizieren. 5 Stochastik … füreineProblem­ stellungmithilfeder Stochastik ein geeignetesModell findenundeinen Transfer inander Bereichedurch­ führen. …Operationen in derStochastik durchführenund situationsgerecht technischeHilfsmit­ tel eins tzen. …Zusammenhänge inderStochastik interpretierenund meineÜberlegun­ gendokumentieren. … inder Fach­ sprachederSto­ chastikargumentie­ renund kommuni­ zieren. * „DieStandardmatrix“derBildungsstandards fürberufsbildendehöhereSchulendesösterreichischen Bundesministeriums fürUnterricht,KunstundKultur Die Standardmatrix* Mathe_BHS_Musterlayout_09-2011_End.indd 77 10.10.2011 11:35:58 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv