Mathematik HTL 2, Schulbuch

49 2.1 Potenzfunktionen Weiters ist für alle reellen Zahlen a, b f(a·b) = (a·b) n = a n ·b n = f(a)·f(b) . Bei allen Rechenregeln muss beachtet werden: Wenn einer der Exponenten negativ ist, betrachten wir R \{0} als Definitionsbereich für alle in der Rechenregel vorkommenden Potenzfunktionen. 235 Überprüfe, ob die Funktion f eine Potenzfunktion ist, und berechne ihren Grad. a. f(x) = (x 2 – x)(x 2 + x) + x 4 _ x 2 b. f(x) = (x 3 + x) 2 – (x 3 – x) 2 a. Für alle x ist f(x) = (x 2 – x)(x 2 + x) + x 4 _ x 2 = x 4 – x 2 + x 4 – 2 = x 4 – x 2 + x 2 = x 4 , also ist f eine Potenz- funktion mit Grad 4. b. Für alle x ist f(x) = (x 3 + x) 2 – (x 3 – x) 2 = (x 6 + 2x 4 + x 2 ) – (x 6 – 2x 4 + x 2 ) = 4x 2 , also ist f keine Potenzfunktion, sondern ein Monom mit Grad 2. 236 Bestimme, welche der Funktionen f Monome sind. A f(x) = x 3 C f(x) = 4x 4 + 7x 4 E f(x) = 3(x 2 + 2x 2 ) G f(x) = (2x + 1) 2 B f(x) = 2x 2 + 1 D f(x) = (x + 1)(x – 1) F f(x) = 1 _ 2 x 19 H f(x) = 7x 5 + 1 _ 3 x 4 237 Überprüfe durch Umformen, ob die Funktion f eine Potenzfunktion ist und berechne ihren Grad. a. f(x) = (x 4 ·x 9 ·x 3 ) 3 d. f(x) = (x 9 – x 5 ) 2 – (x 9 + x 5 )(x 9 – x 5 ) g. f(x) = x n ·x ‒3 _ (x ‒n ) 2 b. f(x) = (x ‒7 ·x 3 ) 2 ·(x 6 ·x ‒2 ) 3 e. f(x) = x 4 ·x 2 ·x 9 __ x 3 ·x 7 h. f(x) = (x ‒n ) 2 _ x n ·x ‒3 c. f(x) = (x + 5)(x – 7) + 35 f. f(x) = (x k ·x 2 ) 4 _ (x k ) 5 i. f(x) = (2 + x m ) 2 – (x m – 2) 2 ___ 2x m ·4x 5 238 Zeige, dass die Funktion f eine Potenzfunktion ist, und berechne ihren Exponenten. a. f(x) = x 3 ·(x 4 ·(x ‒2 ·(x 5 ·x 7 ))·x ‒5 ) d. f(x) = (x + 1)(x – 1)x + x b. f(x) = (x 3 ·x 4 )(((x ‒2 ·x 5 )·x 7 )·x ‒5 ) e. f(x) = (x + 1)(x + 2)x ‒2x 2 – (x 2 + 2)x c. f(x) = 1 _ 3 ·((2x + 1) 2 – 6x – (x – 1) 2 ) f. f(x) = 1 _ 2 (x – 3)(x + 3) + 1 _ 2 (x + 3) 2 – 3x 239 Überprüfe mithilfe eines CAS, ob die Funktion f eine Potenzfunktion ist, und bestimme ihren Grad. a. f(x) = x 23 ·[x 15 ·[x 27 ·(x 44 ·x ‒12 )·x 33 ]·x ‒41 ·x 15 ]·x ‒67 b. f(x) = (x 16 ·x ‒72 )·x 35 ·(x 12 ·x 44 )·[x 15 ·(x ‒67 + x 21 )]·x 47 c. f(x) = 2· 4 (5x 2 – 2x + 5) 3 – 6x 4 · 2 1 _ 2 x 3 – 5x 2 3 3 5 d. f(x) = [4x 3 – 2(x 2 + x)]·(x – 5) 2 – (27x 3 – 2x 2 + 5x) 2 e. f(x) = (x – 5x 2 + 12x 3 ) 4 – 2·(2x 3 + 2x – 5)·(7x 4 – 5x 2 ) f. f(x) = 1 _ 15 ·[5(x 4 – 3x 2 )] 5 + 1 _ 5 ·(x – 3x 2 ) 4 ·(6x 2 + 5x) 240 Berechne den Exponenten der Potenzfunktion f. a. f(x) = (x 2 ) 3 c. f(x) = (x ‒4 ) 5 e. f(x) = ((x ‒4 ) 5 ) 6 g. f(x) = (x 2 x 3 ) ‒3 b. f(x) = x 2 x 3 d. f(x) = (x ‒4 ) ‒5 f. f(x) = (x ‒4 ) 5·6 h. f(x) = (x ‒2 x 3 ) 3 241 Berechne die Funktionswerte der Funktion f für alle ganzen Zahlen im angegebenen Intervall mithilfe eines CAS oder eines Tabellenkalkulationsprogramms. a. f(x) = x 8 ; [‒5; 10] b. f(x) = x 3 ; [‒10; 15] c. f(x) = 1 _ 2 x 3 – 1 _ 4 x 2 ; [‒4; 12] 242 Berechne die Funktionswerte von f 1 mit f 1 (x) = x ‒3 , f 2 mit f 2 (x) = x ‒2 , f 3 mit f 3 (x) = x ‒1 , f 4 mit f 4 (x) = x 1 , f 5 mit f 5 (x) = x 2 , f 6 mit f 6 (x) = x 3 an der Stelle z. Ordne dann diese sechs Zahlen der Größe nach. a. z = 2 c. z = 1 e. z = 1 _ 4 g. z = ‒ 3 _ 4 i. z = ‒ 3 _ 2 b. z = 3 _ 2 d. z = 3 _ 4 f. z = ‒ 1 _ 4 h. z = ‒1 j. z = ‒2 B prüfen, ob eine Funktion eine Potenzfunktion ist C B B, D B B B ggb 3nx99y B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv