Mathematik HTL 2, Schulbuch

48 2.1 Potenzfunktionen Ich lerne mit Potenzfunktionen zu rechnen. Ich lerne Aussagen über den Graphen einer Potenzfunktion zu machen und umgekehrt aus dem Graphen einer Potenzfunktion ihre Eigenschaften abzulesen. Ich lerne die Eigenschaften Monotonie und Konvexität von Funktionen kennen und dieses Wissen zu nützen, um ihre Graphen gut zu skizzieren und die angefertigte Skizze zu begründen. Grundlegende Begriffe und Rechenregeln Im Kapitel über quadratische Funktionen haben wir bereits Potenzfunktionen f mit f(x) = x n für n = 0, 1, 2 kennengelernt. In diesem Abschnitt betrachten wir Potenzfunktionen für beliebiges n. Multiplizieren wir die identische Funktion 1-mal, 2-mal, 3-mal … mit sich selbst, dann erhalten wir die Funktion, die jeder reellen Zahl x die Zahl x·x = x 2 , x·x·x = x 3 , x·x·x·x = x 4 zuordnet. Diese Funktionen heißen die zweite, dritte, vierte, …Potenzfunktion. Für jede natürliche Zahl n > 0 nennen wir die Funktion f mit f(x) = x n die n-te Potenzfunktion . Vielfache davon, zum Beispiel die Funktion g mit g(x) = 2x 4 , nennen wir Monome . Die Funktion f mit f(x) = x 0 = 1 ist die konstante Funktion 1: R ¥ R , x ¦ 1, wir nennen sie auch die 0-te Potenzfunktion . Die rationale Funktion f: R \{0} ¥ R , x ¦ 1 _ x = x ‒1 , nennen wir die ‒1-te Potenzfunktion . Ihr n-faches Produkt ist wieder eine rationale Funktion, wir nennen sie die ‒n-te Potenzfunktion . Diese Funktion ordnet jeder Zahl x die Zahl 1 _ x n = x ‒n zu. Dabei ist n wie oben eine positive ganze Zahl. Für eine Potenzfunktion f mit f(x) = x m , wobei m eine ganze Zahl ist, heißt m der Grad oder Exponent dieser Potenzfunktion. Es gelten die folgenden Rechenregeln, einige davon haben wir schon kennengelernt: Für alle ganzen Zahlen m, n gilt: Für alle Zahlen x ist x n ·x m = x n + m , also ist das Produkt der n-ten mit der m-ten Potenzfunktion ist die (n + m)-te Potenzfunktion. Für alle Zahlen x ist x n _ x m = x n – m , also ist der Quotient der n-ten und der m-ten Potenzfunktion ist die (n – m)-te Potenzfunktion. Für alle Zahlen x ist (x m ) n = x m·n , also ist die n-te Potenz der m-ten Potenzfunktion die (m·n)-te Potenzfunktion. Ist f die n-te Potenzfunktion mit f(x) = x n , dann ist für alle reellen Zahlen c, d und x c·f(x) + d·f(x) = (c + d)·f(x) , also ist die Summe von Monomen mit gleichem Grad wieder ein Monom dieses Grades. Potenz- funktionen Grad, Exponent Rechenregeln für Potenz- funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv