Mathematik HTL 2, Schulbuch

43 Zusammenfassung Eine quadratische Funktion ist eine Polynomfunktion mit Grad 2 f: R ¥ R , x ¦ ax 2 + bx + c, dabei sind a, b und c reelle Zahlen und a ist nicht 0. Die Darstellung f mit f(x) = a·(x – s) 2 + t mit s = ‒ b _ 2·a und t = c – b 2 _ 4·a heißt Scheitelform von f. Damit können wir leicht den Graphen von f zeichnen. Wenn a positiv bzw. negativ ist, ist t der kleinstmögliche bzw. größtmögliche Funktionswert von f und f(s) = t. Die quadratische Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c hat höchstens zwei Nullstellen in R und zwar ‒ p _ 2 ± 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q mit p = b _ a und q = c _ a . Die Summe dieser Nullstellen ist ‒p, ihr Produkt ist q. Die Aufgabe, diese Nullstellen zu berechnen, heißt quadratische Gleichung . Die Aufgabe eine quadratische Funktion zu finden, die an drei verschiedenen Stellen z 1 , z 2 , z 3 bestimmte vorgegebene Funktionswerte hat, nennt man Interpolation durch eine quadratische Funktion mit Stützstellen z 1 , z 2 , z 3 . Die Koeffizienten a, b und c dieser quadratischen Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c können durch Lösen des folgenden Systems linearer Gleichungen mit drei Unbekannten a, b, c berechnet werden: I) z 1 2 a + z 1 b + c = f(z 1 ) II) z 2 2 a + z 2 b + c = f(z 2 ) III) z 3 2 a + z 3 b + c = f(z 3 ) Ein Paar von reellen Zahlen (a, b) nennen wir eine komplexe Zahl und schreiben dann a + bj für (a, b), wenn wir mit Zahlenpaaren wie folgt rechnen: Addition bzw. Subtraktion: (a ± bj) + (c ± dj) = (a ± c) + (b ± d)j Multiplikation: (a + bj)·(c + dj) = (ac – bd) + (ad + bc)j Wenn wir Zahlenpaare so multiplizieren, nennen wir R 2 die Gaußsche Zahlenebene und schreiben C statt R 2 . Die komplexe Zahl a – bj heißt die zu a + bj konjugierte komplexe Zahl und wird mit (a + bj)* bezeichnet. Für diese Rechenoperationen gelten die gleichen Rechenregeln wie für reelle Zahlen, insbesondere kann durch alle von 0 = 0 + 0j verschiedenen komplexen Zahlen dividiert werden. Es ist a + bj _ c + dj = (a + bj) c – dj _ a 2 + b 2 . Jede reelle Zahl a können wir durch a = a + 0j als komplexe Zahl auffassen. Die Zahlen a bzw. b heißen Realteil bzw. Imaginärteil von a + bj. Jede quadratische Gleichung hat Lösungen in C . quadratische Funktionen 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 Scheitelform Nullstellen einer quadratischen Funktion quadratische Gleichung Interpolation komplexe Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv