Mathematik HTL 2, Schulbuch

42 Quadratische Funktionen 191 Löse die quadratische Gleichung x 2 – x + c = 0 über C . Dabei ist c eine reelle Zahl. Wenn 2 ‒ 1 _ 2 3 2 – c = 0, also c = 1 _ 4 ist, dann gibt es nur eine Lösung, und zwar 1 _ 2 . Wenn 2 ‒ 1 _ 2 3 2 – c > 0, also c < 1 _ 4 ist, dann sind 1 _ 2 + 9 ___ 1 _ 4 – c und 1 _ 2 – 9 ___ 1 _ 4 – c die Lösungen. Wenn 2 ‒ 1 _ 2 3 2 – c < 0, also c > 1 _ 4 ist, dann sind 1 _ 2 + 9 ___ c – 1 _ 4 j und 1 _ 2 – 9 ___ c – 1 _ 4 j die Lösungen. 192 Löse die quadratische Gleichung über C . Dabei sind b, c und d reelle Zahlen und b ≠ 0. a. x 2 – c = 0 c. x 2 + c·x + 1 = 0 e. x 2 – c·x – c 2 = 0 b. b·x 2 – d = 0 d. x 2 + 2x + d = 0 f. x 2 – 2(c + d)x + 2c·d = 0 193 Löse die quadratische Gleichung über C . Dabei sind c und d reelle Zahlen. a. x·(x – c) + (x – c) 2 = 0 c. (x – 2c) 2 + (x – 2d) 2 = 0 e. (x + c)(x – d) + 2x(d – c) = c·d b. (d – x) 2 – x(d + 2x) = 0 d. (x + c)(x – c) + 3x(x – c) = cx f. c·(x – d) 2 + d(x + c) 2 = c 2 ·d 194 Finde eine quadratische Gleichung, die die gegebenen Zahlen als Lösung besitzt. a. z 1 = 1 + j z 2 = 1 – j c. z 1 = 2 + j z 2 = 2 – j e. z 1 = 1 _ 2 + j z 2 = 1 _ 2 – j b. z 1 = 3j z 2 = ‒ 3j d. z 1 = ‒1 + 3j z 2 = ‒1 – 3j f. z 1 = 5 + 2j z 2 = 5 – 2j 195 Überlege: Gibt es eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten, die zwei nicht konjugiert komplexe Zahlen als Lösungen besitzt? Begründe. 196 Überlege, wie eine quadratische Gleichung aussieht, die konjugiert komplexe Lösungen hat, deren Realteile 0 sind? Begründe. 197 Wie sieht eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten aus, die eine Lösung hat, deren Realteil doppelt so groß wie der Imaginärteil ist. Begründe. 198 Gib eine quadratische Gleichung mit dem Leitkoeffizienten 1 an, die das Paar konjugiert komplexer Zahlen als Lösungen hat. a. 3 + 2j, 3 – 2j b. ‒ 5 + 4j, ‒ 5 – 4j c. 8 + 7j, 8 – 7j 199 Berechne reelle Zahlen p und q so, dass z eine Lösung der quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0 ist. Sind p und q eindeutig bestimmt oder gibt es mehrere Lösungen? a. z = 1 – j b. z = 2 + 3j c. z = 7 d. z = ‒ 3j 200 Begründe: Wenn z eine reelle Zahl ist, dann hat die Aufgabe 199 beliebig viele Lösungen. Wenn z aber eine komplexe Zahl ist, die nicht reell ist, dann hat die Aufgabe 199 immer genau eine Lösung. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann mit komplexen Zahlen rechnen. 201 Addiere, multipliziere und dividiere die zwei komplexen Zahlen. a. z 1 = 2 1 _ 3 , 1 _ 3 3 ; z 2 = (4, ‒ 3) b. z 1 = 8 + 3j; z 2 = ‒ 2 –j Ich kann die Lösung(en) für jede quadratische Gleichung (mit reellen Koeffizienten) berechnen und in der Zahlenebene darstellen. 202 Löse die quadratische Gleichung über C und stelle die zwei Lösungen in der Zahlenebene dar. a. x 2 + 8x + 25 = 0 b. u 2 + 4u + 13 = 0. B eine quadratische Gleichung mit „Parameter“ über C lösen B B B D D D B B D B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv