Mathematik HTL 2, Schulbuch

41 1.5 Komplexe Zahlen Quadratische Gleichungen (mit reellen Koeffizienten) für komplexe Zahlen Gegeben sind drei reelle Zahlen a ≠ 0, b und c. Die Aufgabe, alle komplexen Zahlen x mit ax 2 + bx + c = 0 zu berechnen, heißt quadratische Gleichung über C . Wir schreiben dafür oft einfach „Löse die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 über C “. Dabei kann statt x auch jedes andere Symbol gewählt werden. Wie bei quadratischen Gleichungen über R ist jede Lösung von ax 2 + bx + c = 0 über C auch eine Lösung von x 2 + 2 b _ a 3 x + 2 c _ a 3 = 0. Wir schreiben p für b _ a und q für c _ a . Auch für Lösungen z in C gilt: z + p _ 2 ist eine Lösung von x 2 + 2 ‒ 2 p _ 2 3 2 + q 3 = 0. Wenn die reelle Zahl 2 p _ 2 3 2 – q nicht negativ ist, sind alle Lösungen reelle Zahlen. Wenn die reelle Zahl 2 p _ 2 3 2 – q negativ ist, dann muss z + p _ 2 = 2 9 _____ ‒ 2 p _ 2 3 2 + q 3 ·j oder ‒ 2 9 _____ ‒ 2 p _ 2 3 2 + q 3 ·j sein. Denn: Wir schreiben c für 2 p _ 2 3 2 – q. Wenn das Quadrat einer komplexen Zahl u + vj gleich c ist, also (u + vj) 2 = c ist, dann muss u 2 – v 2 = c sein und 2uv = 0 sein. Aus 2uv = 0 folgt u = 0 oder v = 0. Dann ist u 2 = c oder ‒ v 2 = c. Da u und v reelle Zahlen sind und c eine negative reelle Zahl ist, kann u 2 nicht gleich c sein. Also ist u = 0 und v = 9 __ ‒ c oder ‒ 9 __ ‒ c. Die Lösungen der quadratischen Gleichung von x 2 + px + q = 0 über C (mit p, q * R ) sind ‒ p _ 2 + 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q und ‒ p _ 2 ‒ 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q , falls 2 p _ 2 3 2 – q º 0 ist und ‒ p _ 2 + 2 9 _____ ‒ 2 p _ 2 3 2 + q 3 ·j und ‒ p _ 2 – 2 9 _____ ‒ 2 p _ 2 3 2 + q 3 ·j , falls 2 p _ 2 3 2 – q < 0 ist. Im zweiten Fall ist die zweite Lösung die zur ersten Lösung konjugierte komplexe Zahl. Beispiel: Die Lösungen von x 2 + 1 = 0 sind j und ‒ j. 187 Berechne alle Lösungen von x 2 + 6x + 25 = 0 über C . Da 2 6 _ 2 3 2 – 25 = ‒16 < 0 ist, sind die zwei Lösungen gleich ‒ 3 + 4j und ‒ 3 – 4j. 188 Berechne alle Lösungen von 2x 2 + 12x + 50 = 0 über C . Die Lösungen von 2x 2 + 12x + 50 = 0 sind dieselben wie die Lösungen von x 2 + 6x + 25 = 0. Die Lösungen dieser Gleichung haben wir oben bereits berechnet, daher sind ‒ 3 + 4j und ‒ 3 – 4j die zwei Lösungen von 2x 2 + 12x + 50 = 0. 189 Löse die quadratische Gleichung und stelle die Lösungen als Punkte der Gaußschen Zahlenebene dar. a. x 2 – 4x + 5 = 0 c. x 2 + 2x + 5 _ 4 = 0 e. y 2 – y + 5 = 0 g. r 2 + 2r – 0,5 = 0 b. x 2 + 2x + 2 = 0 d. x 2 + 3x + 4 = 0 f. t 2 – 3t + 10 = 0 h. s 2 + 100s + 10 10 = 0 190 Löse die quadratische Gleichung und stelle die Lösungen als Punkte der Gaußschen Zahlenebene dar. a. 4x 2 + 1 = 0 c. 1 _ 2 x 2 + x – 4 = 0 e. 1 _ 5 x 2 – x + 5 = 0 g. 1 _ 4 y 2 – 3y + 7 = 0 b. 5x 2 – 1 = 0 d. 3x 2 + 0,5x + 2 = 0 f. 1 _ 3 s 2 – 1 _ 2 s + 1 _ 4 = 0 h. 1 _ 5 u 2 – 1 _ 2 u + 9 = 0 quadratische Gleichung über C Lösungen einer quadratischen Gleichung über C B eine quadratische Gleichung über C lösen B eine quadratische Gleichung über C lösen B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv