Mathematik HTL 2, Schulbuch

4 Ein Blick ins Buch Jedes Kapitel beginnt mit einer Auftaktseite , die einen Überblick über die Abschnitte des Kapitels gibt. Am Beginn jedes Abschnitts werden die Kompetenzen vorgestellt, die in diesem Abschnitt erworben werden. In den Abschnitten wechseln Theorie und Aufgaben ab, sodass die neuen Inhalte gleich angewandt, verstanden und geübt werden können. Verwendete Abkürzungen: DGS … dynamische Geometriesoftware CAS … Computeralgebrasystem GTR … graphikfähiger Taschenrechner Eine besondere Hilfe sind die Kennzeichnungen „ Tipp “ und „ Achtung “, die darauf aufmerksam machen, welche Strategien beim Lösen mathematischer Fragestellungen angewendet werden können und wo man besonders aufpassen sollte. In blauen Kästen finden sich Musteraufgaben , die zeigen, wie Aufgaben gelöst werden können. Wichtige mathematische Inhalte (Definitionen, Sätze…) sind in gelben Kästen hervorgehoben. 47 Potenz- und Wurzelfunktionen 2 2.1 Potenzfunktionen 2.2 Umkehrfunktionen 2.3 Wurzelfunktionen Zusammenfassungund zusammenfassendeAufgaben Mathe_HTL_2.indb 47 13.01.2012 14:21:45 63 2.2 Umkehrfunktionen Tipp AusdemGrapheneiner Funktion f: R¥R könnenwirablesen,obdie Funktionumkehrbar ist odernicht:Sie istgenaudannumkehrbar,wennauf jederGeraden,dieparallel zurersten Koordinatenachse ist,höchstenseinPunktdesGraphen liegt.Liegennämlich zweiPunkte (z 1 , f(z 1 ))und (z 2 , f(z 2 ))aufeiner solchenGeraden,dannmuss f(z 1 )= f(z 2 ) seinunddieBilderder zwei verschiedenenZahlen z 1 und z 2 sindgleich.Daher kann indiesem Fall fnichtumkehrbar sein. Die Funktion s: R 2 ¥R 2 , (a,b) ¦ (b,a) vertauschtdie zwei Komponenten jedesZahlenpaares.Wennwirdiese Funktion geometrischdeuten,entspricht siederSpiegelungeines Punktesander 1.Mediane. Bild(s),dasBildder Funktion s, ist R 2 :Zu jedemPaar (u,v) von reellenZahlengibtesgenaueinZahlenpaar,dessen Funktionswertbezüglich sdasPaar (u,v) ist,nämlich (v,u). DaheristdieFunktionsumkehrbar.IhreUmkehrfunktions ‒1 ordnet jedemZahlenpaar (u,v)dasZahlenpaar (v,u) zu,also ist s ‒1 = s.Dies istauchgeometrisch leichteinzusehen:Wirdder gespiegeltePunkterneutander 1.Medianegespiegelt,erhalten wirwiederdenAusgangspunkt. Wenneine Funktion f: R¥R umkehrbar istundwirdenGraphen von fbereitsbezüglicheinesKoordinatensystemsgezeichnet haben,dannerhaltenwirdenGraphen von f ‒1 zeichnerisch, indemwirdieMengeGraph(f)ander 1.Mediane spiegeln. Besonderseinfach istdies,wenn feine lineare Funktion k·x+d mitk≠0ist.DerGrapheinersolchenFunktionistjaeine Gerade inderEbene.Wirmüssendahernur zweiPunkte,die aufderGeraden liegen,ander 1.Mediane spiegeln. DiegespiegelteGerade (unddamitGraph(f ‒1 ))erhaltenwir, indemwireineGeradedurchdiegespiegeltenPunkte legen. 281 IstdielineareFunktionf: R¥R , z ¦ 3z–2umkehrbar? Wirmüssenprüfen,obes zu jeder reellenZahlagenaueine reelleZahl zmit a= f(z)=3z –2 gibt.Die lineareGleichunga=3z –2mitderUnbekanntenzhatgenaueineLösung,nämlich z= 1 _ 3 (a+2)= a _ 3 + 2 _ 3 . Also ist fumkehrbarunddieUmkehrfunktion ist f ‒1 : R¥R ,a ¦ a _ 3 + 2 _ 3 . FürallereellenZahlenk,dmitk≠0istdielineareFunktionf: R¥R , z ¦ kz+dumkehrbar. IhreUmkehrfunktionist f ‒1 : R¥R ,a ¦ 1 _ k ·a – d _ k . 0 x y 1 1 2 3 4 2 3 4 4 4 3 2 1 3 2 1 0 x y 1 1 2 3 4 2 3 4 4 4 3 2 1 3 2 1 A B C ggb 45a9jh 0 x y 1 1 2 3 4 2 3 4 4 4 3 2 1 3 2 1 P s(P) 0 x y 1 1 2 3 4 2 3 4 4 4 3 2 1 3 2 1 f f 1 D ggb ge67gh prüfen,ob eine Funktion umkehrbar ist Umkehrfunktion einer linearen Funktion 2.2 Um­ kehr­ funktio­ nen HTL_2_ND_2013.indb 63 11.07.2013 14:59:39 66 2.3 Wurzelfunktionen Ich lernemitWurzelnundWurzelfunktionen zu rechnen. Ich lerneAussagenüberdieGestaltdesGrapheneinerWurzelfunktion zumachenund umgekehrtausdemGrapheneinerWurzelfunktion ihreEigenschaftenabzulesen. Ich lerneWurzelgleichungen zu lösen. RechnenmitWurzeln Wirwiederholen,waswirbereitsüberWurzelnwissen: FüreinepositiveganzeZahlnundeinepositive reelleZahlagibtesgenaueinepositive reelle Zahlbmitb n =a.WirnennendieseeindeutigbestimmteZahlbdie n-teWurzel ausaund bezeichnen siemit n 9 _ aodera 1 _ n .Dann ist 2 n 9 _ a 3 n = 2 a 1 _ n 3 n = a . FürpositiveganzeZahlenm,nhabenwirdie folgendeSchreibweise vereinbart: a m _ n = n 9 __ a m und a – m _ n = n 9 ___ 2 1 _ a 3 m Wir könnendannWurzelnalsPotenzenauffassen,derenExpnenten rationaleZahlen sind. SolchePotenzennennenwir rationalePotenzen . Wir kennen schondie folgendenRechenregeln fürPotenzenund fürWurzeln: FürzweipositivereelleZahlenaundbundrationaleZahlenqundsgilt: a q ·a s = a q + s RationalePotenzengleicherBasiswerdenmultipliziert, indemdieExponentenaddiertwerden. a q _ a s = a q– s RationalePotenzengleicherBasiswerdendividiert, indemdieExponenten subtrahiertwerden. a 0 = 1 a ‒q = 1 _ a q (a q ) s = a q·s Potenzenwerdenpotenziert, indemdieExponenten multipliziertwerden. (a·b) q = a q ·b q DiePotenz einesProduktes istgleichdemProduktder Potenzen. 2 a _ b 3 q = a q _ b q DiePotenz einesQuotienten istgleichdemQuotienten derPotenzen. WirdividiereneinepositiveganzeZahlpmitRestdurcheinepositiveganzeZahln: p=m·n+ r,wobei0 ª r<n ist.Dann ist n 9 __ a p =a p _ n =a m·n+ r __ n =a m ·a r _ n =a m · n 9 __ a r . DenÜbergang von n 9 __ a p zua m · n 9 __ a r nennenwir „teilweiseWurzel ziehen” . 292 WandleDividendundDivisor von 3 9 _ 2 _ 12 9 _ 2 zuerst indiePotenzschreibweiseum, schreibeden QuotientenwiederalsPotenzundwandleanschließendwieder indieWurzelschreibweise zurück. 3 9 _ 2 _ 12 9 _ 2 = 2 1 _ 3 _ 2 1 _ 12 =2 4 _ 12 – 1 _ 12 =2 3 _ 12 =2 1 _ 4 = 4 9 _ 2 n-teWurzel rationale Potenzen Rechnenregeln für rationale Potenzen „teilweises Wurzelziehen“ B mitWurzeln rechnen HTL_2_ND_2013.indb 66 11.07.2013 14:59:41 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv