Mathematik HTL 2, Schulbuch

39 1.5 Komplexe Zahlen 167 Berechne den Real- und Imaginärteil der komplexen Zahlen (2 + 3j)·(3‒ 5j). (2 + 3j)·(3 – 5j) = 6 + 15 – 10j + 9j = 21 – j Der Realteil ist 21, der Imaginärteil ist ‒1. Wir hätten das auch so anschreiben können: (2 + 3j)·(3 – 5j) = (2, 3)·(3, ‒ 5) = (6 + 15, ‒10 + 9) = (21, ‒1) = 21 – j Das Produkt einer komplexen Zahl a + bj mit der dazu konjugierten komplexen Zahl (a + bj)* ist (a + bj)(a – bj) = (a 2 + b 2 ) + 0·j = a 2 + b 2 , also eine nicht negative reelle Zahl. Sie ist nur dann 0, wenn a + bj = 0 ist. Wir verwenden das, um die zu a + bj inverse komplexe Zahl zu berechnen. Wegen (a + bj) 2 a _ a 2 + b 2 – b _ a 2 + b 2 j 3 = 1 ist 1 _ a + bj = a _ a 2 + b 2 – b _ a 2 + b 2 j = a – bj _ a 2 + b 2 . Zu jeder komplexen Zahl z = a + bj ≠ 0 gibt es eine inverse komplexe Zahl 1 _ z = z ‒1 : 1 _ z = z* _ a 2 + b 2 . Durch eine Zahl dividieren heißt, mit der zu ihr inversen Zahl zu multiplizieren. Also: Durch alle von 0 = (0, 0) verschiedenen komplexen Zahlen a + bj kann dividiert werden. Es ist c + dj _ a + bj = (c + dj)· a – bj _ a 2 + b 2 . 168 Berechne Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl 3 – 2j _ 1 + 4j . 3 – 2j _ 1 + 4j = (3 – 2j) 1 – 4j _ 1 2 + 4 2 = 1 _ 17 (3 – 2j)(1 – 4j) = 1 _ 17 (‒ 5 – 14j)= ‒ 5 _ 17 – 14 _ 17 j Der Realteil ist ‒ 5 _ 17 , der Imaginärteil ist ‒ 14 _ 17 . 169 Stelle in der Gaußschen Zahlenebene dar. a. 2j b. ‒ j c. 2 – 3j d. 3 _ 2 + 2j e. 1 + 4j f. ‒ 5 _ 2 – 2j 170 Zeichne die Menge. a. {z * C‡ der Realteil von z ist 20} c. {(a, b) * C‡ † a † + † b † = 1} b. {z * C‡ der Imaginärteil von z ist ‒ 2} d. {a + bj * C‡ † a † < 2 und † b † < 1} 171 Schreibe die Zahlenpaare in der Form a + bj an und berechne ihre Summe und die Differenz (das erste Zahlenpaar ist der Minuend). a. (3, 7), (1, ‒ 4) b. (‒ 2, 0), (0, 5) c. 2 3 _ 4 , ‒ 1 _ 2 3 , 2 5 _ 3 , 2 _ 7 3 d. (23,1, 14,3), (‒ 32,7, 19,8) 172 Wähle ein Koordinatensystem und zeichne die komplexen Zahlen aus Aufgabe 171 ein. Addiere und subtrahiere sie zeichnerisch. Bestimme dann durch Abmessen den Realteil und den Imaginärteil der Summen und der Differenzen. Vergleiche die Ergebnisse mit den durch Rechnung ermittelten. 173 Zeichne 10 komplexe Zahlen, deren Realteil doppelt so groß wie ihr Imaginärteil ist, in ein Koordinatensystem. Fällt dir etwas auf? Wenn ja, versuche das zu erklären. 174 Zeichne 10 komplexe Zahlen, deren Imaginärteil doppelt so groß wie ihr Realteil ist, in ein Koordinatensystem. Fällt dir etwas auf? Wenn ja, versuche das zu erklären. 175 Berechne, indem du die Rechenregeln für Potenzen verwendest. a. j 2 = b. j 3 = c. j 7 = d. j 12 = e. j ‒8 = f. j ‒5 = B mcd/tns f392k2 komplexe Zahlen multiplizieren Inverse einer komplexen Zahl Division von komplexen Zahlen B komplexe Zahlen dividieren mcd/tns vj42jd B B B B, C B, D B, D B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv