Mathematik HTL 2, Schulbuch

38 Quadratische Funktionen Wie definieren wir die Multiplikation für die anderen Zahlenpaare in R 2 ? Wir möchten ein Element in R 2 haben, dessen Quadrat gleich ‒1 = (‒1, 0) ist. Nehmen wir dafür (0, 1)! Wir schreiben im Weiteren 1 für (1, 0) und j für (0, 1). Dann ist (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a1 + bj = a + bj. Für j soll gelten: j 2 = j·j = ‒1. Nachdem die bekannten Rechenregeln für reelle Zahlen auch für die neuen Rechenoperationen auf R 2 gelten sollen, muss für zwei Zahlenpaare (a, b) und (c, d) in R 2 (a, b)·(c, d) = (a + bj)·(c + dj) = ac + bcj + adj – bd = (ac – bd) + (ad + bc)j = = (ac – bd, ad + bc) sein. Also definieren wir: (a, b)·(c, d) = (ac – bd, ad + bc) oder, in anderer Schreibweise (a + bj)(c + dj) = (ac – bd) + (ad + bc)j. Beispiel: (3, 4)·(2, ‒1) = (3 + 4j)(2 – j) = 10 + 5j = (10, 5). Wir können nun nachprüfen: Für die komponentenweise Addition und Subtraktion und die neu definierte Multiplikation von Paaren reeller Zahlen gelten die gleichen Rechenregeln wie für reelle Zahlen. Zum Beispiel: Beim Multiplizieren von komplexen Zahlen kommt es nicht auf die Reihenfolge der Faktoren an, weil (a + bj)·(c + dj) = (ac – bd) + (ad + bc)j = (ca –db) + (da + bc)j = (c + dj)·(a + bj) ist. Fassen wir zusammen: Wir definieren für alle Zahlenpaare (a, b), (c, d) * R 2 die Rechenoperationen Addition bzw. Subtraktion: (a, b) ± (c, d) = (a ± c, b ± d) Multiplikation: (a, b)·(c, d) = (ac – bd, ad + bc) . Für diese Rechenoperationen gelten die gleichen Rechenregeln wie für das Rechnen mit reellen Zahlen. Wenn wir so mit Paaren reeller Zahlen rechnen, dann nennen wir jedes Zahlenpaar (a, b) eine komplexe Zahl und schreiben dafür a + bj. Statt R 2 schreiben wir dann C für die Menge der komplexen Zahlen. Diese „Zahlenebene“ wird Gaußsche Zahlenebene genannt. Statt (a, 0) = a + 0j schreiben wir einfach a und betrachten so R als Teilmenge von C . Jede reelle Zahl ist daher auch eine komplexe Zahl, aber nicht umgekehrt. Das Quadrat der komplexen Zahl (0, 1) = j ist (‒1, 0) = ‒1, also: j 2 = ‒1 Die reelle Zahl a ist der Realteil und die reelle Zahl b der Imaginärteil der komplexen Zahl a + bj. Die Zahl a – bj nennen wir die zu a + bj konjugierte komplexe Zahl . Sie wird mit (a + bj)* bezeichnet. 166 Berechne den Real- und Imaginärteil der komplexen Zahlen (2 + 3j) – (3‒ 5j). (2 + 3j) – (3‒ 5j) = ‒1 + 8j Der Realteil ist ‒1, der Imaginärteil ist 8. Wir hätten das auch so anschreiben können: (2 + 3j) – (3‒ 5j) = (2, 3) – (3, ‒ 5) = (‒1, 8) = ‒1 + 8j. komplexe Zahlen ggb jw9j7h Im Re 0 1 j b -1 a (a 1 b) (a 1 0) (0 1 1) Gaußsche Zahlenebene Realteil Imaginärteil konjugiert komplexe Zahl B komplexe Zahlen subtrahieren Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv